\sect{Wykład 15}

\begin{frame}{Szereg Fouriera}
	Szereg Fouriera - rozwinięcie funkcji okresowej w sumę składowej stałej oraz harmonicznych sinusoidalnych.\\
	Równanie syntezy funkcji:
	\begin{equation*}
		f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \left( \frac{2n \pi}{T} x \right) + b_n \sin \left( \frac{2n \pi}{T} x \right) \right)
	\end{equation*}
	lub równoważnie:
	\begin{equation*}
		f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \left( 2 \pi f_0 n x \right) + b_n \sin \left( 2 \pi f_0 n x \right) \right)
	\end{equation*}
	gdzie $f_0=\frac{1}{T}$ jest częstotliwością podstawową.
\end{frame}

\begin{frame}{Szereg Fouriera}
	Szereg Fouriera pozwala wyznaczyć współczynniki opisujące udział kolejnych harmonicznych.\\
	Równania analizy funkcji:
	\begin{equation*}
		a_n = \frac{2}{T} \int_{-0.5T}^{0.5T} f(x) \cos \left(\frac{2 n \pi}{T} x \right) dx, \qquad n=0,1,2,\dots
	\end{equation*}
	\begin{equation*}
		b_n = \frac{2}{T} \int_{-0.5T}^{0.5T} f(x) \sin \left(\frac{2 n \pi}{T} x \right) dx, \qquad n=1,2,\dots
	\end{equation*}
	W przypadku funkcji nieokresowej zamiast sumy harmonicznych otrzymujemy transformatę Fouriera w postaci całki po częstotliwości.
\end{frame}

\begin{frame}{Szereg Fouriera - przykład}
	\begin{equation*}
		f(x) =
		\begin{cases}
			1,  & \text{dla } x \in (0+kT;\, 0.5T+kT] \\
			-1, & \text{dla } x \in (0.5T+kT;\, T+kT]
		\end{cases}
	\end{equation*}
	\begin{figure}
		\includegraphics[scale=0.15, alt={Na obrazku przedstawiony jest wykres funkcji w układzie współrzędnych.
					Pozioma oś na dole to oś X, pionowa oś po lewej to oś oznaczona jako f od x.
					Wartości funkcji przyjmują tylko dwie wysokości: jedna linia pozioma znajduje się mniej więcej na wysokości plus jeden, druga na wysokości minus jeden.
					Wykres składa się z szeregu prostokątnych schodków, które na przemian biegną raz na górnej wysokości, raz na dolnej, zawsze poziomo, a między tymi poziomami przechodzą pionowo w dół lub w górę.
					Cały rysunek pokazuje kilka takich powtarzających się bloków od lewego brzegu, gdzie X jest około minus trzy, do prawego, gdzie X jest około trzy.
					Oznacza to, że funkcja jest okresowa: jej kształt powtarza się regularnie wzdłuż osi poziomej, mniej więcej co jeden odstęp na osi X.}]{./imags/L15/f1.png}
		\caption{Sygnał prostokątny w dziedzinie czasu.}
	\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Szereg Fouriera - współczynniki}
	Dla rozpatrywanego sygnału prostokątnego:
	\begin{equation*}
		a_n=0, \qquad b_n=\frac{2-2\cos(\pi n)}{\pi n}
	\end{equation*}
	co oznacza, że występują tylko harmoniczne sinusowe, a współczynniki dla parzystych $n$ są równe zeru.
\end{frame}

\begin{frame}{Widmo sygnału}
	\begin{equation*}
		a_n=0, \qquad b_n=\frac{2-2\cos(\pi n)}{\pi n}
	\end{equation*}
	\begin{figure}
		\includegraphics[scale=0.15, alt={Na obrazku widoczne są dwa wykresy jeden nad drugim, oba przedstawiają współczynniki szeregu Fouriera w funkcji numeru n.
					Górny wykres pokazuje współczynniki a od n.
					Na osi poziomej rośnie n od 0 do 30, na osi pionowej są wartości a od minus jeden do jeden.
					Wszystkie niebieskie punkty leżą praktycznie na poziomie zera, co oznacza, że współczynniki a są równe zero lub bardzo bliskie zeru dla wszystkich n.
					Dolny wykres pokazuje współczynniki b od n, także dla n od 0 do 30, przy czym skala pionowa sięga od zera do około jeden i cztery dziesiąte.
					Widać wyraźny pierwszy słupek o wysokości około jeden i trzy dziesiąte, po nim malejące dodatnie wartości dla kolejnych nieparzystych n, natomiast dla parzystych n punkty znajdują się na poziomie zera, więc te współczynniki są równe zero.}]{./imags/L15/f1_2.png}
		\caption{Amplituda kolejnych harmonicznych.}
	\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Szereg Fouriera - współczynniki}
	\begin{figure}
		\includegraphics[scale=0.2, alt={Na obrazku znajdują się cztery wykresy obok siebie, u góry dwa, na dole dwa.
					Każdy pokazuje tę samą funkcję prostokątną jako niebieską linię oraz jej przybliżenie szeregiem Fouriera jako pomarańczową linię.
					W lewym górnym rogu tytuł brzmi N równe 3.
					Widać, że pomarańczowy przebieg jest falisty i tylko z grubsza przypomina prostokąt: ma duże zaokrąglenia i wyraźne oscylacje.
					W prawym górnym rogu wykres z napisem N równe 10.
					Tutaj pomarańczowa linia znacznie lepiej przylega do kształtu prostokąta, ale przy przejściach między poziomami nadal pojawiają się drobne oscylacje, takie falowanie wokół wartości plus jeden i minus jeden.
					W lewym dolnym rogu jest wykres z N równe 20.
					Pomarańczowy przebieg jest jeszcze bliżej idealnego prostokąta, oscylacje są mniejsze i bardziej skupione w okolicach pionowych krawędzi sygnału.
					W prawym dolnym rogu jest wykres z N równe 100.
					W tym przypadku pomarańczowa linia prawie pokrywa się z niebieską: odcinki poziome są bardzo równe, a oscylacje przy skokach są krótkie i silnie skoncentrowane.
					Obraz ilustruje, że wraz ze wzrostem liczby składników N przybliżenie szeregiem Fouriera coraz lepiej odwzorowuje sygnał prostokątny.}]{./imags/L15/f1_1.png}
		\caption{Przykłady sygnału oryginalnego i syntezowanego z różnej liczby harmonicznych.}
	\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Wpływ filtracji na sygnał złożony}
	\begin{equation*}
		f(x) =
		\begin{cases}
			1,  & \text{dla } x \in (0+kT;\, 0.5T+kT] \\
			-1, & \text{dla } x \in (0.5T+kT;\, T+kT]
		\end{cases}
	\end{equation*}
	gdzie $T=1\,ms$ oraz $f_0=1\,kHz$.\\
	Powyższy sygnał można zdekomponować do postaci sumy harmonicznych o częstotliwościach $f_0$, $2f_0$, $3f_0$, \dots :
	\begin{equation*}
		f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(2 \pi f_0 n x)
	\end{equation*}
	\begin{equation*}
		b_n=\frac{2-2\cos(\pi n)}{\pi n}
	\end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}{Wpływ filtracji na sygnał złożony}
	\begin{figure}
		\includegraphics[scale=0.15, alt={Na rysunku pokazany jest prosty obwód elektryczny z jednym źródłem napięcia, rezystorem i kondensatorem połączonymi w szereg.
					Po lewej stronie znajduje się okrąg symbolizujący źródło napięcia oznaczone jako e od t, czyli napięcie zależne od czasu.
					Od źródła przewód biegnie w górę do prostokątnego symbolu rezystora z podpisem 1 kilo om, następnie dalej w prawo do symbolu kondensatora po prawej stronie.
					Kondensator jest podpisany po prawej wartościowością 159,15 nano farada, a przy nim strzałka skierowana w górę z opisem u out od t, co oznacza napięcie wyjściowe mierzone na kondensatorze.
					Dolne końce źródła i kondensatora są połączone wspólnym przewodem, zamykając pętlę obwodu.}]{./imags/L15/filter.png}
		\caption{Schemat układu z filtrem.}
	\end{figure}
	\begin{equation*}
		H(j\omega)=\frac{2000 \pi}{j \omega + 2000 \pi}
		\qquad
		H(jf)=\frac{1000}{j f + 1000}
	\end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}{Wpływ filtracji na sygnał złożony}
	Zgodnie z zasadą superpozycji każdą harmoniczną można filtrować niezależnie:
	\begin{equation*}
		f_{\mathrm{filtered}}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \left|H\!\left(j 2 \pi f_0 n\right)\right|
		\sin \left( 2 \pi f_0 n x + \arg \left( H\!\left(j 2 \pi f_0 n\right) \right) \right)
	\end{equation*}
	W rozpatrywanym przykładzie parzyste harmoniczne mają zerowe współczynniki.
	\begin{table}[]
		\begin{tabular}{llllll}
			$n$ & $f_n$    & $b_n$    & $H(j 2 \pi f_n)$             & $|H|$    & $\arg(H)$         \\
			$1$ & $1\,kHz$ & $1.2732$ & $0.7071 e^{-45^{\circ}}$     & $0.7071$ & $-45^{\circ}$     \\
			$3$ & $3\,kHz$ & $0.4244$ & $0.3162 e^{-71.565^{\circ}}$ & $0.3162$ & $-71.565^{\circ}$ \\
			$5$ & $5\,kHz$ & $0.2546$ & $0.1961 e^{-78.690^{\circ}}$ & $0.1961$ & $-78.690^{\circ}$ \\
			$7$ & $7\,kHz$ & $0.1819$ & $0.1414 e^{-81.870^{\circ}}$ & $0.1414$ & $-81.870^{\circ}$
		\end{tabular}
	\end{table}
\end{frame}

\begin{frame}{Wpływ filtracji na sygnał złożony}
	\begin{figure}
		\includegraphics[scale=0.2, alt={Na obrazku znajdują się dwa wykresy jeden nad drugim.
					Górny pokazuje w czasie sygnał prostokątny, dolny – wartości współczynników szeregu Fouriera b od n.
					Na górnym wykresie pozioma oś to czas w milisekundach od około minus trzech tysięcznych do plus trzech tysięcznych sekundy, pionowa oś to f od t od minus półtora do plus półtora.
					Przebieg przełącza się skokowo między poziomem około plus jeden a minus jeden, tworząc regularne, powtarzalne prostokąty o stałym okresie.
					Na dolnym wykresie oś pozioma to numer harmonicznej n od 0 do 30, a oś pionowa to współczynniki b od n od zera do około jeden i cztery dziesiąte.
					Widać najwyższy słupek przy n równym 1 o wartości około jeden i trzy dziesiąte, a kolejne nieparzyste n mają coraz mniejsze dodatnie wartości, natomiast dla większości parzystych n punkty leżą na poziomie zera.}]{./imags/L15/filter_1.png}
		\caption{Testowy sygnał w dziedzinie czasu oraz częstotliwości.}
	\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Wpływ filtracji na sygnał złożony}
	\begin{figure}
		\includegraphics[scale=0.2, alt={Na obrazku są dwa wykresy umieszczone jeden nad drugim, oba w funkcji czasu w milisekundach od około minus trzech do plus trzech tysięcznych sekundy.
					Górny wykres przedstawia sygnał wejściowy f od t: jest to idealny przebieg prostokątny skaczący między poziomem około plus jeden a minus jeden, z równymi czasami trwania na każdym poziomie i ostrymi pionowymi przejściami.
					Dolny wykres pokazuje sygnał po przejściu przez filtr, opisany jako f filtered od t.
					Zamiast ostrych prostokątów widać gładkie, zaokrąglone przebiegi: po każdym skoku sygnał narasta lub opada wykładniczo, tworząc łagodne łuki, które zbliżają się do wartości plus jeden lub minus jeden, ale z opóźnieniem względem sygnału prostokątnego.}]{./imags/L15/filter_2.png}
		\caption{Sygnał w dziedzinie czasu przed oraz po filtracji.}
	\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Postać zespolona}
	Równanie syntezy funkcji:
	\begin{equation*}
		f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{j 2 \pi n x}
	\end{equation*}
	Równanie analizy funkcji:
	\begin{equation*}
		c_n = \frac{1}{T} \int_{-0.5T}^{0.5T} f(x) e^{- j \frac{2 \pi n}{T} x} dx
	\end{equation*}
	\href{https://www.falstad.com/fourier/Fourier.html}{Applet pokazujący działanie transformacji Fouriera.}
\end{frame}

\begin{frame}{Trzy narzędzia opisu sygnałów}
	\begin{itemize}
		\item[\bt] Szereg Fouriera stosujemy do sygnałów okresowych.
		\item[\bt] Transformata Fouriera opisuje sygnały nieokresowe przez ciągłe widmo częstotliwościowe.
		\item[\bt] Transformata Laplace'a jest szczególnie użyteczna dla sygnałów przyczynowych oraz do analizy układów dynamicznych.
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Kiedy używać którego narzędzia?}
	\begin{itemize}
		\item[\bt] Sygnał okresowy $\rightarrow$ szereg Fouriera.
		\item[\bt] Sygnał nieokresowy $\rightarrow$ transformata Fouriera.
		\item[\bt] Równania różniczkowe, warunki początkowe, odpowiedzi układów $\rightarrow$ transformata Laplace'a.
		\item[\bt] Wszystkie te narzędzia opisują ten sam sygnał, ale z innej perspektywy.
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Fourier a Laplace}
	Transformata Fouriera:
	\begin{equation*}
		\hat{f}(\eta) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-j 2 \pi \eta x} dx
	\end{equation*}
	Transformata Laplace'a:
	\begin{equation*}
		F(s) = \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-sx} dx
	\end{equation*}
	Odwrotna transformata Fouriera:
	\begin{equation*}
		f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\eta) e^{j 2 \pi \eta x} d\eta
	\end{equation*}
	Odwrotna transformata Laplace'a:
	\begin{equation*}
		f(x) = \frac{1}{j 2 \pi} \lim_{\omega \rightarrow \infty} \int_{\lambda-j\omega}^{\lambda+j\omega} F(s) e^{sx} ds
	\end{equation*}
	\href{https://www.falstad.com/fourier/Fourier.html}{Applet pokazujący działanie transformacji Fouriera.}
\end{frame}