\sect{Wykład 14}

\begin{frame}{Charakterystyki częstotliwościowe}
	Charakterystyka Bodego – logarytmiczna charakterystyka częstotliwościowa układu: wzmocnienia (charakterystyka amplitudowa) oraz przesunięcia fazy (charakterystyka fazowa) w funkcji częstotliwości.
	\begin{figure}
		\includegraphics[scale=0.08, alt={Charakterystyka przenoszenia głośnika średniotonowego została przedstawiona na wykresie o białym tle z gęstą siatką pomocniczą, w układzie współrzędnych prostokątnych.
					Oś pionowa obrazuje poziom ciśnienia akustycznego w decybelach w zakresie od 60 dB do 95 dB, natomiast oś pozioma przedstawia częstotliwość w hercach w skali logarytmicznej od 20 Hz do 20 kHz.
					Na wykresie widoczna jest ciągła, pofalowana linia w kolorze niebieskim, która dla 20 Hz przyjmuje wartość około 65 dB, po czym w paśmie niskich częstotliwości gwałtownie rośnie, osiągając maksimum rzędu 86,5 dB w okolicy 500 Hz.
					W szerokim zakresie tonów średnich, mniej więcej od kilkuset herców do około 6 kHz, poziom odpowiedzi utrzymuje się na wysokim poziomie i wykazuje jedynie niewielkie, regularne odchylenia od linii idealnie płaskiej.
					Powyżej około 6 kHz charakterystyka zaczyna systematycznie opadać, co odpowiada zmniejszaniu się skuteczności przetwarzania wysokich częstotliwości, tak że przy 20 kHz poziom ciśnienia akustycznego wynosi w przybliżeniu 72,5 dB.}]{./imags/L14/glosnik.png}
		\caption{Przykład charakterystyki częstotliwościowej.}
	\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Charakterystyki częstotliwościowe}
	\begin{itemize}
		\item[\bt] Na ogół oś pozioma ma logarytmiczną skalę częstotliwości.
		\item[\bt] W charakterystyce amplitudowej oś pionowa przedstawia wzmocnienie w dB.
		\item[\bt] W charakterystyce fazowej oś pionowa jest liniowa, zwykle od $-180^{\circ}$ do $180^{\circ}$.
	\end{itemize}
	\begin{equation*}
		K_{\mathrm{[dB]}} = 20 \log_{10} \left( \frac{A}{A_0} \right)
	\end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}{Filtry pasywne}
	Układy z elementami RLC, w których stosunek zespolonych amplitud napięcia wyjściowego do wejściowego (transmitancja widmowa $H(j\omega)$) jest funkcją częstotliwości.
	\begin{itemize}
		\item[\bt] Pasmo przenoszenia – zakres częstotliwości, dla których moduł transmitancji spełnia $|H(j\omega)| > \frac{1}{\sqrt{2}}$ (czyli tłumienie mniejsze niż $-3\,$dB).
		\item[\bt] Pasmo zaporowe – zakres częstotliwości, dla których moduł transmitancji spełnia $|H(j\omega)| < \frac{1}{\sqrt{2}}$ (tłumienie większe niż $-3\,$dB).
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Filtry pasywne}

	\begin{figure}
		\includegraphics[scale=0.08, alt={Obraz przedstawia cztery charakterystyki amplitudowe filtrów pasmowo-przepustowych, umieszczone na jednej planszy w układzie dwóch wierszy i dwóch kolumn, pod wspólnym tytułem Charakterystyki dla różnych Q.
					Każdy z wykresów ma białe tło, szarą siatkę pomocniczą oraz osie opisane w układzie współrzędnych prostokątnych; oś pionowa przedstawia moduł transmitancji w decybelach w zakresie od około -50 dB do 0 dB, natomiast oś pozioma odwzorowuje częstotliwość w hercach w skali logarytmicznej od 10 Hz do 100 kHz.
					Na wszystkich wykresach zilustrowano działanie filtrów pasmowo-przepustowych o jednakowej częstotliwości środkowej równej 1000 Hz, różniących się jedynie wartością dobroci Q, co skutkuje istotnymi zmianami szerokości pasma przenoszenia wyznaczanego na poziomie -3 dB.
					Na każdej charakterystyce zaznaczono pasmo 3 dB za pomocą poziomego odcinka czarnej linii przerywanej, zakończonego po obu stronach czarnymi punktami, leżącego dokładnie na poziomie -3 dB względem maksimum charakterystyki.
					Lewy górny wykres odpowiada filtrów o dobroci Q równej 0,1 i przedstawia bardzo szerokie, łagodnie ukształtowane wzniesienie krzywej w kolorze niebieskim, o wyraźnie spłaszczonym wierzchołku, przy czym punkty wyznaczające granice pasma 3 dB są znacznie od siebie oddalone, a opisana przy wykresie szerokość pasma 3 dB wynosi 9976,28 Hz, co wskazuje na filtr o bardzo małej selektywności.
					Prawy górny wykres przedstawia charakterystykę filtru o dobroci Q równej 1, dla którego maksimum krzywej osiąga poziom 0 dB; kształt wierzchołka jest wyraźnie bardziej stromy, punkty odpowiadające częstotliwościom granicznym znajdują się bliżej siebie niż w poprzednim przypadku, a podana szerokość pasma 3 dB równa 997,63 Hz jest istotnie mniejsza, co odzwierciedla wzrost selektywności filtru.Lewy dolny wykres ilustruje filtr o dobroci Q równej 10 i ukazuje bardzo wąską, silnie wyostrzoną górę charakterystyki, przy której punkty wyznaczające pasmo 3 dB są umieszczone bardzo blisko szczytu, a deklarowana szerokość pasma 3 dB równa 99,76 Hz wskazuje na typowy przykład wąskopasmowego filtru pasmowo-przepustowego.
					Prawy dolny wykres prezentuje charakterystykę filtru o dobroci Q równej 100, w której maksimum krzywej przyjmuje postać ekstremalnie wąskiego, igłowego szczytu; boczne odcinki charakterystyki opadają bardzo stromo, punkty odpowiadające częstotliwościom granicznym praktycznie zlewają się w jednym miejscu, a szerokość pasma 3 dB równa zaledwie 9,98 Hz potwierdza, że wraz ze wzrostem dobroci Q pasmo przenoszenia ulega znacznemu zawężeniu.}]{./imags/L14/filters.png}
		\caption{Przybliżona odpowiedź częstotliwościowa.}
	\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Przykład - filtr RC dolnoprzepustowy}
	Dla prostego filtru RC dolnoprzepustowego transmitancja ma postać:
	\begin{equation*}
		H(j\omega)=\frac{1}{1+j\omega RC}
	\end{equation*}
	Częstotliwość graniczna tego filtru wynosi:
	\begin{equation*}
		\omega_c=\frac{1}{RC}
	\end{equation*}
	\begin{itemize}
		\item[\bt] Dla małych częstotliwości moduł transmitancji jest bliski 1, więc sygnał jest przepuszczany.
		\item[\bt] Dla dużych częstotliwości moduł transmitancji maleje do zera, więc sygnał jest tłumiony.
		\item[\bt] Przy częstotliwości granicznej moduł transmitancji wynosi $\frac{1}{\sqrt{2}}$, czyli odpowiada spadkowi o $3\,$dB.
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Dobroć i rząd filtra}
	\begin{itemize}
		\item[\bt] Dobroć filtra (dla filtru pasmowoprzepustowego) – bezwymiarowa miara „wąskości” pasma:
		      \begin{equation*}
			      Q = \frac{f_0}{f_{g,3\mathrm{dB}} - f_{d,3\mathrm{dB}}}
		      \end{equation*}
		      gdzie $f_0$ – częstotliwość środkowa, $f_{d,3\mathrm{dB}}$, $f_{g,3\mathrm{dB}}$ – dolna i górna częstotliwość graniczna (dla $-3\,$dB).
		\item[\bt] Rząd filtra – stopień wielomianu w mianowniku transmitancji operatorowej; określa stromość zboczy charakterystyki (np. $\pm 20\,$dB/dekadę na rząd dla filtrów Butterwortha).
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Dobroć filtra – przykład}
	\begin{figure}
		\includegraphics[scale=0.08, alt={Obraz przedstawia cztery charakterystyki amplitudowe filtrów idealnych umieszczone na jednej planszy w układzie dwóch wierszy i dwóch kolumn.
					Wspólny tytuł rysunku brzmi Charakterystyki amplitudowe filtrów idealnych.
					Każdy z wykresów ma białe tło, gęstą szarą siatkę pomocniczą oraz osie opisane w układzie współrzędnych prostokątnych, przy czym oś częstotliwości ma skalę logarytmiczną, a oś amplitudy wyrażona jest w decybelach.
					Oś pionowa na wszystkich wykresach przedstawia moduł transmitancji w skali od około -60 dB do 0 dB, natomiast oś pozioma prezentuje częstotliwość w hercach w zakresie od 1 Hz do 10⁶ Hz.
					Na każdym z wykresów naniesiono pionową, przerywaną linię w kolorze czerwonym, wyznaczającą częstotliwość odniesienia równą 1000 Hz.
					Lewy górny wykres, zatytułowany Filtr dolnoprzepustowy, przedstawia charakterystykę filtru, którego transmitancja w pasmie niskich częstotliwości jest stała i równa 0 dB, a powyżej częstotliwości granicznej 1000 Hz zaczyna monotonnie maleć, osiągając wartości rzędu -60 dB w zakresie wysokich częstotliwości.
					Prawy górny wykres, zatytułowany Filtr górnoprzepustowy, obrazuje filtr o charakterystyce rosnącej: dla częstotliwości znacznie mniejszych od 1000 Hz transmitancja ma wartości około -60 dB, a w pobliżu częstotliwości granicznej krzywa dochodzi do poziomu 0 dB i następnie utrzymuje się na tym poziomie w zakresie częstotliwości wyższych.Lewy dolny wykres, zatytułowany Filtr pasmowo przepustowy, prezentuje charakterystykę filtru, który posiada wyraźne pasmo przenoszenia ograniczone z dołu i z góry, co na wykresie przyjmuje postać pojedynczego wzniesienia o kształcie zbliżonym do symetrycznego wzgórza, z maksimum nieco poniżej 0 dB, zlokalizowanym w pobliżu częstotliwości 1000 Hz.
					Prawy dolny wykres, zatytułowany Filtr pasmowo zaporowy, przedstawia charakterystykę filtru, którego transmitancja jest zbliżona do 0 dB w szerokim zakresie częstotliwości, z wyjątkiem wąskiego pasma wokół 1000 Hz, gdzie pojawia się głębokie wcięcie o charakterze rezonansowym, sięgające około -26 dB, co odpowiada typowemu zachowaniu filtru pasmowo‑zaporowego (pułapki).}]{./imags/L14/bandpass_filters.png}
		\caption{Przykład filtrów o różnej dobroci.}
	\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Analogowy filtr Czebyszewa}
	Właściwości:
	\begin{itemize}
		\item[\bt] Krótkie pasmo przejściowe – filtr Czebyszewa ma strome zbocza, dzięki czemu szybciej tłumi sygnały poza pasmem niż filtr Butterwortha; kosztem są zafalowania.
		\item[\bt] Typy:
		      \begin{itemize}
			      \item[\bt] Typ I – zafalowania w paśmie przepustowym, pasmo zaporowe monotoniczne.
			      \item[\bt] Typ II (ang. Inverse Chebyshev) – pasmo przepustowe monotoniczne, zafalowania w paśmie zaporowym.
		      \end{itemize}
		\item[\bt] Zastosowania – gdy ważne jest szybkie tłumienie sygnałów poza pasmem, np. w systemach komunikacyjnych i przetwarzania sygnałów.
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Analogowy filtr Butterwortha}
	Właściwości:
	\begin{itemize}
		\item[\bt] Monotoniczna charakterystyka amplitudowa – brak zafalowań w paśmie przepustowym i zaporowym.
		\item[\bt] Maksymalnie płaska charakterystyka w paśmie przepustowym – minimalne zniekształcenia amplitudowe w użytecznym paśmie.
		\item[\bt] Łagodniejsze zbocza niż w filtrach Czebyszewa – przejście z pasma przepustowego do zaporowego jest bardziej stopniowe.
		\item[\bt] Dobra stabilność i odpowiedź impulsowa, co jest istotne w wielu zastosowaniach inżynierskich.
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Filtry pasywne – przykłady}
	\href{https://www.falstad.com/afilter/circuitjs.html?startCircuit=filt-hipass.txt}{Przykłady filtrów pasywnych}
\end{frame}

\begin{frame}{Filtry aktywne}
	Filtry aktywne wykorzystują wzmacniacze operacyjne w połączeniu z rezystorami, kondensatorami i ewentualnie cewkami do realizacji funkcji filtrujących.\\
	Są często bardziej elastyczne niż filtry pasywne o tych samych charakterystykach.
	\textbf{Zalety filtrów aktywnych:}
	\begin{itemize}
		\item[\bt] Możliwość wzmocnienia sygnału (układ może mieć wzmocnienie większe niż 1).
		\item[\bt] Brak konieczności stosowania cewek – mniejszy rozmiar, niższy koszt i brak problemów z indukcyjnościami pasożytniczymi.
		\item[\bt] Łatwiejsza precyzyjna regulacja charakterystyk dzięki doborowi wartości R i C oraz topologii układu.
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Filtry aktywne – przykłady}
	\href{https://www.falstad.com/afilter/circuitjs.html?startCircuit=filt-hipass.txt}{Przykłady filtrów aktywnych}
\end{frame}