\sect{Wykład 12}

\begin{frame}{Metoda wskazowa - analiza w stanie ustalonym}
	\begin{enumerate}
		\item[\bt] \textbf{Impedancja} - uogólnienie rezystancji, czyli zespolona zależność między napięciem i prądem w obwodach prądu sinusoidalnego.
		      W przypadku elementów inercyjnych jest funkcją częstotliwości.
		\item[\bt] W metodzie wskazowej zakładamy pobudzenie sinusoidalne.
		\item[\bt] Analiza wykonywana jest w stanie ustalonym, dlatego nie bierzemy pod uwagę warunków początkowych.
	\end{enumerate}
	Oznaczenia:
	\begin{itemize}
		\item[\bt] $x(t)$ - sygnał rzeczywisty
		\item[\bt] $\hat{x}(t)$ - sygnał zespolony / wskaz wirujący
		\item[\bt] $\hat{X}$ - zespolona amplituda / wskaz
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Metoda wskazowa - sygnały}
	\begin{equation*}
		e^{jx} = \cos x + j \sin x
	\end{equation*}
	Jeżeli układ pobudzany jest sygnałem $e(t)=\sin(\omega t)$, to możemy przedstawić go jako:
	\begin{equation*}
		e(t)=\sin(\omega t) = \cos(\omega t - 90^{\circ}) = \Re \left( e^{j(\omega t - 90^{\circ})} \right) = \Re \left( e^{j\omega t} e^{-j90^{\circ}} \right)
	\end{equation*}
	\begin{equation*}
		\hat{e}(t) = e^{j\omega t} e^{-j90^{\circ}}, \qquad \hat{E}= e^{-j90^{\circ}}
	\end{equation*}
	Na powyższym przykładzie widać, że w przypadku liczb zespolonych przesunięcie fazy można przedstawić w postaci mnożenia przez liczbę zespoloną.
\end{frame}

\begin{frame}{Metoda wskazowa - sygnały}
	Załóżmy sygnał postaci
	\begin{equation*}
		e(t) = \sin(\omega t) = \Re\left(e^{j(\omega t - 90^{\circ})}\right), \qquad \hat{e}(t) = e^{j(\omega t - 90^{\circ})}
	\end{equation*}
	Jego pochodna wynosi:
	\begin{equation*}
		\frac{d e(t)}{dt} = \omega \cos(\omega t)
	\end{equation*}
	Analogiczne przekształcenie wykonane przy pomocy liczb zespolonych:
	\begin{equation*}
		\frac{d \hat{e}(t)}{dt} = j \omega e^{j(\omega t - 90^{\circ})}
	\end{equation*}
	\begin{equation*}
		\Re \left( \frac{d \hat{e}(t)}{dt} \right) = \omega \Re \left( j e^{j(\omega t - 90^{\circ})} \right) = \omega \cos(\omega t)
	\end{equation*}
	Na podstawie powyższego równania można zauważyć, że w przypadku operacji na liczbach zespolonych pochodna odpowiada mnożeniu przez $j\omega$, czyli jednocześnie skalowaniu przez $\omega$ i przesunięciu fazy o $90^{\circ}$.
\end{frame}

\begin{frame}{Metoda wskazowa - sygnały}
	Impedancja przez swój zespolony charakter nie tylko działa jak zależna od częstotliwości ,,rezystancja'', ale skutkuje również dodatkowym przesunięciem fazy wynikowego sygnału.\\
	\textbf{Jeżeli obwód liniowy pobudzany jest sygnałem sinusoidalnym, to w stanie ustalonym na jego wyjściu może pojawić się wyłącznie sygnał sinusoidalny o tej samej pulsacji, ewentualnie przeskalowany i przesunięty w fazie.}
\end{frame}

\begin{frame}{Metoda wskazowa - kondensator}
	\begin{equation*}
		\hat{i}_C(t) = C \frac{d \hat{u}_C(t)}{dt} \rightarrow \left( \hat{u}_C(t) \sim e^{j\omega t} \right) \rightarrow \hat{i}_C(t) = j \omega C \hat{u}_C(t)
	\end{equation*}
	\begin{equation*}
		Z_C(j \omega) = \frac{\hat{U}_C}{\hat{I}_C} = \frac{1}{j \omega C}
	\end{equation*}
	\begin{equation*}
		Z_C(j \omega) = \frac{1}{j \omega C} = \frac{-j}{\omega C} = \frac{1}{\omega C} e^{-j90^{\circ}}
	\end{equation*}
	Na podstawie powyższej zależności widać, że napięcie na kondensatorze jest opóźnione o $90^{\circ}$ względem prądu płynącego przez niego.\\
	Moduł impedancji kondensatora wynosi $\left| Z_C \right| = \frac{1}{\omega C}$.
\end{frame}

\begin{frame}{Metoda wskazowa - induktor}
	\begin{equation*}
		\hat{u}_L(t) = L \frac{d \hat{i}_L(t)}{dt} \rightarrow \left( \hat{i}_L(t) \sim e^{j\omega t} \right) \rightarrow \hat{u}_L(t) = j \omega L \hat{i}_L(t)
	\end{equation*}
	\begin{equation*}
		Z_L(j \omega) = \frac{\hat{U}_L}{\hat{I}_L} = j \omega L
	\end{equation*}
	\begin{equation*}
		Z_L(j \omega) = j \omega L = \omega L e^{j90^{\circ}}
	\end{equation*}
	Na podstawie powyższej zależności widać, że napięcie na cewce wyprzedza w fazie prąd o $90^{\circ}$.\\
	Moduł impedancji cewki wynosi $\left| Z_L \right| = \omega L$.
\end{frame}

\begin{frame}{Podsumowanie impedancji elementów}
	\begin{itemize}
		\item[\bt] Rezystor: $Z_R = R = R e^{j0^{\circ}}$ - brak przesunięcia fazowego między napięciem i prądem.
		\item[\bt] Induktor: $Z_L = j \omega L = \omega L e^{j90^{\circ}}$ - napięcie wyprzedza prąd o $90^{\circ}$.
		\item[\bt] Kondensator: $Z_C = \frac{1}{j \omega C} = \frac{1}{\omega C} e^{-j90^{\circ}}$ - napięcie jest opóźnione o $90^{\circ}$ względem prądu.
		\item[\bt] W metodzie wskazowej obwód sinusoidalny analizujemy algebraicznie, zastępując elementy R, L i C ich impedancjami zespolonymi.
	\end{itemize}
\end{frame}