\sect{Wykład 10}

\begin{frame}{Przekształcenie Laplace'a}
	\begin{itemize}
		\item[\bt] Transformacja Laplace'a - przekształcenie zamieniające funkcję w dziedzinie czasu $f(t)$ na funkcję w dziedzinie zmiennej zespolonej $s$, czyli transformatę $F(s)$.
		\item[\bt] Przekształcenie proste:
	\end{itemize}
	\begin{equation*}
		F(s) = \mathcal{L} \left( f(t) \right) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt
	\end{equation*}
	\begin{itemize}
		\item[\bt] Przekształcenie odwrotne (w zapisie ogólnym):
	\end{itemize}
	\begin{equation*}
		f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left( F(s) \right) = \frac{1}{2 \pi j} \int_{\gamma - j\infty}^{\gamma + j\infty} F(s) e^{st} ds,
	\end{equation*}
	gdzie $\gamma$ jest tak dobrane, aby prosta całkowania leżała w obszarze zbieżności transformaty.
	\begin{itemize}
		\item[\bt] Transformata Laplace'a - $F(s)=\mathcal{L}(f(t))$ - funkcja w dziedzinie zespolonej $s$.
		\item[\bt] Oryginał funkcji - $f(t)=\mathcal{L}^{-1}(F(s))$ - funkcja w dziedzinie czasu.
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Przekształcenie Laplace'a}
	\begin{itemize}
		\item[\bt] Metoda umożliwia zamianę równań różniczkowych zwyczajnych w równania algebraiczne (w dziedzinie zespolonej $s$).
		\item[\bt] Rozwiązania równania różniczkowego uzyskuje się po wykonaniu odwrotnej transformaty.
		\item[\bt] W praktyce korzysta się z tablic transformat Laplace'a oraz znanych własności (pochodna, całka, przesunięcie, splot), zamiast liczyć całki bezpośrednio z definicji.
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Przykład z definicji}
	\begin{enumerate}
		\item[\bt] $s_1(t) = \delta (t)$
		\item[\bt] $s_2(t) = \mathbf{1} (t)$
	\end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{Ważniejsze własności transformacji Laplace'a}
	\begin{table}
		\centering
		\tagpdfsetup{table/header-rows={1}}
		\caption{Ważniejsze własności transformacji Laplace'a}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
			\hline
			Nr & Działanie w dz. czasu & $f(t)$                   & $F(s)$                                      \\[1ex]
			\hline
			1  & Dodawanie             & $f_1(t)+f_2(t)$          & $F_1(s)+F_2(s)$                             \\[1ex]
			\hline
			2  & Mnożenie przez skalar & $k \cdot f(t)$           & $k \cdot F(s)$                              \\[1ex]
			\hline
			3  & Skalowanie ($a>0$)    & $f(at)$                  & $\dfrac{1}{a} F\!\left(\dfrac{s}{a}\right)$ \\[1ex]
			\hline
			4a & Pochodna              & $\dfrac{d}{dt} f(t)$     & $sF(s)-f(0^{-})$                            \\[1ex]
			\hline
			4b & Pochodna              & $\dfrac{d^2}{dt^2} f(t)$ & $s^2F(s)-sf(0^{-})-f'(0^{-})$               \\[1ex]
			\hline
		\end{tabular}
	\end{table}
\end{frame}

\begin{frame}{Ważniejsze własności transformacji Laplace'a}
	\begin{table}
		\centering
		\tagpdfsetup{table/header-rows={1}}
		\caption{Ważniejsze własności transformacji Laplace'a}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
			\hline
			Nr & Działanie w dz. czasu       & $f(t)$                                        & $F(s)$                                     \\[1ex]
			\hline
			5  & Całkowanie                  & $\displaystyle \int_{0^{-}}^t f(\tau) d \tau$ & $\dfrac{1}{s} F(s)$                        \\[1ex]
			\hline
			6  & Opóźnienie o $t_0 > 0$      & $\mathbf{1}(t-t_0)f(t-t_0)$                   & $F(s) \cdot e^{- s t_0}$                   \\[1ex]
			\hline
			7  & Splot funkcji przyczynowych & $\mathbf{1}(t) f_1(t) * \mathbf{1}(t) f_2(t)$ & $F_1(s) \cdot F_2(s)$                      \\[1ex]
			\hline
			8  & Mnożenie funkcji            & $f_1(t) \cdot f_2(t)$                         & $\dfrac{1}{2 \pi j} \cdot F_1(s) * F_2(s)$ \\[1ex]
			\hline
		\end{tabular}
	\end{table}
\end{frame}


\begin{frame}{Ważniejsze własności transformacji Laplace'a}
	\begin{table}
		\centering
		\tagpdfsetup{table/header-rows={1}}
		\caption{Ważniejsze własności transformacji Laplace'a}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
			\hline
			Nr & Działanie w dz. czasu                                   & $f(t)$                    & $F(s)$                                   \\[1ex]
			\hline
			9  & Mnożenie przez funkcję wykładniczą o wykładniku $s_0 t$ & $f(t) \cdot e^{s_0 t}$    & $F(s-s_0)$                               \\[1ex]
			\hline
			10 & Mnożenie przez $t$                                      & $t \cdot f(t)$            & $- \dfrac{d}{ds} F(s)$                   \\[1ex]
			\hline
			11 & Dzielenie przez $t$                                     & $\dfrac{1}{t} \cdot f(t)$ & $\displaystyle \int_s^\infty F(p) dp$    \\[1ex]
			\hline
			12 & Obliczanie wartości początkowej dla $f(t)$              & $f(0^{+})$                & $\displaystyle \lim_{s\to\infty} s F(s)$ \\[1ex]
			\hline
			13 & Obliczanie wartości końcowej dla $f(t)$                 & $f(\infty)$               & $\displaystyle \lim_{s \to 0} s F(s)$    \\[1ex]
			\hline
		\end{tabular}
	\end{table}
\end{frame}

\begin{frame}{Tabela transformat Laplace'a}
	\begin{table}
		\centering
		\tagpdfsetup{table/header-rows={1}}
		\caption{Wybrane transformaty Laplace'a}
		\begin{tabular}{|c|c|c|}
			\hline
			Nr & $f(t)$              & $F(s)$                \\[1ex]
			\hline
			1  & $\delta (t)$        & $1$                   \\[1ex]
			\hline
			2  & $\mathbf{1}(t)$     & $\dfrac{1}{s}$        \\[1ex]
			\hline
			3  & $\mathbf{1}(t) t$   & $\dfrac{1}{s^2}$      \\[1ex]
			\hline
			4  & $\mathbf{1}(t) t^n$ & $\dfrac{n!}{s^{n+1}}$ \\[1ex]
			\hline
		\end{tabular}
	\end{table}
\end{frame}

\begin{frame}{Tabela transformat Laplace'a}
	\begin{table}
		\centering
		\tagpdfsetup{table/header-rows={1}}
		\caption{Wybrane transformaty Laplace'a}
		\begin{tabular}{|c|c|c|}
			\hline
			5 & $\mathbf{1}(t) e^{-\alpha t}$     & $\dfrac{1}{s+\alpha}$          \\[1ex]
			\hline
			6 & $\mathbf{1}(t) t e^{-\alpha t}$   & $\dfrac{1}{(s+\alpha)^2}$      \\[1ex]
			\hline
			7 & $\mathbf{1}(t) t^n e^{-\alpha t}$ & $\dfrac{n!}{(s+\alpha)^{n+1}}$ \\[1ex]
			\hline
		\end{tabular}
	\end{table}
\end{frame}


\begin{frame}{Tabela transformat Laplace'a}
	\begin{table}
		\centering
		\tagpdfsetup{table/header-rows={1}}
		\caption{Wybrane transformaty Laplace'a}
		\begin{tabular}{|c|c|c|}
			\hline
			Nr  & $f(t)$                                                                        & $F(s)$                                      \\[1ex]
			\hline
			8a  & $\mathbf{1}(t) \sin(\omega_0 t)$                                              & $\dfrac{\omega_0}{s^2+\omega_0^2}$          \\[1ex]
			\hline
			8b  & $\mathbf{1}(t) \cos(\omega_0 t)$                                              & $\dfrac{s}{s^2+\omega_0^2}$                 \\[1ex]
			\hline
			9a  & $\mathbf{1}(t) e^{-\alpha t} \sin(\omega_0 t)$                                & $\dfrac{\omega_0}{(s+\alpha)^2+\omega_0^2}$ \\[1ex]
			\hline
			9b  & $\mathbf{1}(t) e^{-\alpha t} \cos(\omega_0 t)$                                & $\dfrac{s+\alpha}{(s+\alpha)^2+\omega_0^2}$ \\[1ex]
			\hline
			10a & $\mathbf{1}(t) t \sin(\omega_0 t)$                                            & $\dfrac{2 \omega_0 s}{(s^2+\omega_0^2)^2}$  \\[1ex]
			\hline
			10b & $\mathbf{1}(t) \left( \sin(\omega_0 t) - \omega_0 t \cos(\omega_0 t) \right)$ & $\dfrac{2 \omega_0^3}{(s^2+\omega_0^2)^2}$  \\[1ex]
			\hline
		\end{tabular}
	\end{table}
\end{frame}

\begin{frame}{Przykłady}
	\begin{enumerate}
		\item[\bt] $F_1(s) = \dfrac{1}{s+4}$
		\item[\bt] $F_2(s) = \dfrac{1}{(s+2)^3}$
		\item[\bt] $F_3(s) = \dfrac{5}{s^2+16}$
		\item[\bt] $F_4(s) = \dfrac{1}{s^2+8s+16}$
		\item[\bt] $F_5(s) = \dfrac{1}{(s+1)(s+2)} = \dfrac{A}{s+1} + \dfrac{B}{s+2}$
		\item[\bt] $F_6(s) = \dfrac{s}{(s+1)^3} = \dfrac{A}{(s+1)^3} + \dfrac{B}{(s+1)^2} + \dfrac{C}{s+1}$
		\item[\bt] $F_7(s) = \dfrac{s^2}{(s+1)^2(s+2)} = \dfrac{A}{(s+1)^2} + \dfrac{B}{s+1} + \dfrac{C}{s+2}$
		\item[\bt] $F_8(s) = \dfrac{1}{(s^2+1)(s^2-1)} = \dfrac{As+B}{s^2+1} + \dfrac{C}{s+1} + \dfrac{D}{s-1}$
	\end{enumerate}
	\href{https://www.wolframalpha.com/}{WolframAlpha do sprawdzenia poprawności}
\end{frame}

\begin{frame}{Przykłady użycia}
	\href{https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?ctz=CQAgjCAMB0l3BWEAOM0CcAmSAWMA2SAdn3xLCQUhCRwGYaBTAWjDACgA3cMTEHODz4Fqo-tSRiYCdgCch4QiEzJkisTIDOy1epB1kOPdQgAzAIYAbTY3YBjfYb0GjAqbAgw4n2JA4B3R1dBNj43KHYAe30QfCNqAXR0KF8cVRVeSV84dBIEfExJZRi6diA}{Symulacja 1}
	\begin{figure}
		\includegraphics[scale=0.08, alt={Na rysunku jest prosty obwód elektryczny prądu stałego złożony z trzech elementów: źródła, rezystora i kondensatora, połączonych szeregowo w pętlę.
					Po lewej stronie widnieje źródło napięcia opisane symbolem e(t), czyli napięcie zależne od czasu.
					Powyżej źródła, w górnej gałęzi obwodu, znajduje się rezystor o rezystancji równej 5 omów, włączony w szereg z wyłącznikiem, który może otwierać lub zamykać obwód.
					Po prawej stronie, za wyłącznikiem, jest kondensator o pojemności 10 mili faradów, również włączony szeregowo, a jego drugi zacisk wraca do dolnego bieguna źródła napięcia, zamykając obwód.}]{./imags/L10/s1.png}
		\caption{Przykład 1.}
	\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Przykłady użycia}
	\href{https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?ctz=CQAgjCAMB0l3BWcBOaAOAbAdgCwCYsBmHMBMHZNQkYkJHahAUwFowwAoAJxD0jXAZINNDkHDhnAO4ixYIbJA44UDgBtwYPEpXtt8iVFgQwkyBxl6dwvgOUSLvftcX3VlreKcCDqgM7eXrYuhgBmAIZqfkwcAPZQIBhiwsrIyEbwkFgYeMiEyDgIhFpIMJnI2Qg5pbwJhBxAA}{Symulacja 2}
	\begin{figure}
		\includegraphics[scale=0.08, alt={Na rysunku jest obwód elektryczny składający się z cewki, rezystora i wyłącznika połączonych równolegle.
					Po lewej stronie znajduje się cewka o indukcyjności 10 mili henrów, podłączona między górną i dolną szyną obwodu.
					W środku jest pionowa gałąź z wyłącznikiem, który może zwierać górną i dolną szynę.
					Po prawej stronie w równoległej gałęzi umieszczony jest rezystor o rezystancji 1 oma, również podłączony między górną i dolną szyną.}]{./imags/L10/s2.png}
		\caption{Przykład 2.}
	\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Rozwiązywanie obwodów metodą Laplace'a}
	\begin{enumerate}
		\item[\bt] Zapisz równania obwodu w dziedzinie czasu, np. z prawa Kirchhoffa.
		\item[\bt] Określ warunki początkowe kondensatorów i cewek.
		\item[\bt] Przejdź do dziedziny $s$ za pomocą transformaty Laplace'a.
		\item[\bt] Zamień elementy inercyjne na ich odpowiedniki operatorowe i uwzględnij warunki początkowe.
		\item[\bt] Rozwiąż otrzymany układ równań algebraicznych względem szukanej transformaty.
		\item[\bt] Wykonaj odwrotną transformację Laplace'a i otrzymaj przebieg czasowy prądu lub napięcia.
	\end{enumerate}
\end{frame}