\sect{Wykład 5}

\begin{frame}{Równania węzłowe}
	\begin{block}{Równania węzłowe}
		Równania prądowe w obwodzie to równania, które zapisuje się na podstawie I prawa Kirchhoffa (prawa prądowego) w węzłach obwodu.
		Określają one, jak prądy „rozchodzą się” w rozgałęzieniach, zgodnie z zasadą zachowania ładunku.
	\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{Równania węzłowe}
	\begin{block}{Istota równań prądowych}
		I prawo Kirchhoffa mówi, że suma prądów wpływających do węzła jest równa sumie prądów z niego wypływających, czyli ładunek w węźle nie może się gromadzić ani znikać.\\
		W zapisie algebraicznym przyjmuje się znak „+” dla prądów wpływających i „-” dla wypływających, a równanie ma postać \(\sum i = 0\,\text{A}\) dla danego węzła.
	\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{Równania węzłowe}
	\begin{block}{Jak je się zapisuje}
		Wybiera się węzły obwodu (punkty, gdzie łączą się co najmniej trzy gałęzie) i dla każdego z nich zapisuje się równanie, uwzględniając wszystkie prądy, które do niego dochodzą i z niego wychodzą.\\
		Dla prostego węzła z prądami \(i_1\), \(i_2\) wpływającymi i \(i_3\) wypływającym równanie prądowe będzie np. \(i_1 + i_2 - i_3 = 0\,\text{A}\) lub równoważnie \(i_1 + i_2 = i_3\).
	\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{Równania węzłowe}
	\begin{block}{Do czego służą}
		Zestaw równań prądowych (wraz z równaniami elementów, takimi jak prawo Ohma, oraz równaniami napięciowymi) pozwala obliczyć nieznane prądy w gałęziach obwodu.\\
		Używa się ich w analizie zarówno prostych, jak i złożonych obwodów, zwłaszcza tam, gdzie występuje wiele rozgałęzień i trzeba wyznaczyć „rozpływ” prądu w całej sieci.
	\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{Równania oczkowe}
	\begin{block}{Równania oczkowe}
		Równania oczkowe w obwodzie to równania, które zapisuje się na podstawie II prawa Kirchhoffa (prawa napięciowego) w oczkach obwodu.
		Opisują one zależności między spadkami napięć i źródłami napięcia w zamkniętych pętlach, zgodnie z zasadą zachowania energii.
	\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{Równania oczkowe}
	\begin{block}{Istota równań oczkowych}
		II prawo Kirchhoffa mówi, że w każdym zamkniętym oczku suma przyrostów i spadków napięć jest równa zero.\\
		W zapisie algebraicznym, przechodząc wzdłuż oczka, przyjmuje się odpowiednie znaki dla spadków napięć i źródeł, a równanie ma postać \(\sum u = 0\,\text{V}\) dla danego oczka.
	\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{Równania oczkowe}
	\begin{block}{Jak je się zapisuje}
		Wybiera się niezależne oczka obwodu (najmniejsze zamknięte pętle) i dla każdego z nich zapisuje się równanie, sumując spadki napięć na elementach oraz uwzględniając źródła napięcia.\\
		Dla prostego oczka z rezystorami o spadkach \(u_1\), \(u_2\) i źródłem napięcia \(e\) równanie oczkowe może mieć postać \(-e + u_1 + u_2 = 0\,\text{V}\) lub równoważnie \(e = u_1 + u_2\).
	\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{Równania oczkowe}
	\begin{block}{Do czego służą}
		Zestaw równań oczkowych (wraz z prawem Ohma i zależnościami elementów) pozwala obliczyć nieznane prądy oczkowe, a następnie prądy w poszczególnych gałęziach obwodu.\\
		Metoda równań oczkowych jest szczególnie przydatna w obwodach płaskich z wieloma gałęziami, ponieważ umożliwia zmniejszenie liczby niewiadomych w porównaniu z metodą równań węzłowych.
	\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{Równania węzłowe - przykład}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			Po prawej stronie przedstawiono przykładowe zadanie.
			Zaznaczone na nim są wartości rezystorów, napięcie źródła \(e\) oraz prąd źródła \(j\).
			Będzie ono stanowiło bazę do dalszych rozważań.
		\end{column}
		\begin{column}{0.6\textwidth}
			\begin{figure}
				\includegraphics[scale=0.08, alt={Na rysunku jest prosty, poziomy obwód elektryczny z trzema rezystorami w górnej gałęzi, dwoma rezystorami pionowymi w dół oraz dwoma źródłami: napięcia po lewej i prądowym po prawej.
							Po lewej stronie, w dolnej części, znajduje się źródło napięcia opisane jako e równe pięć woltów, narysowane jako okrąg ze strzałką skierowaną w górę.
							Od górnego zacisku tego źródła biegnie poziomy przewód w prawo, w którym kolejno włączone są trzy rezystory: najpierw R cztery o wartości cztery omy, a dalej R jeden o wartości jeden om.
							Między R cztery a R jeden znajduje się węzeł, z którego pionowo w dół podłączony jest rezystor R dwa o wartości dwa omy, połączony z dolną prostą szyną odniesienia.
							Za rezystorem R jeden, bardziej w prawo, jest kolejny węzeł, z którego pionowo w dół podłączony jest rezystor R trzy o wartości trzy omy, również do tej samej dolnej szyny.
							Po prawej stronie dolnej gałęzi znajduje się źródło prądowe przedstawione jako okrąg ze strzałką w górę, opisane jako j równe jeden amper, włączone między prawym końcem dolnej szyny a prawym końcem górnej gałęzi obwodu.}]{./imags/L5/fig2a.png}
				\caption{Przykładowe zadanie.}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Równania węzłowe - przykład}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			Na schemacie po prawej usunięto oznaczenia wartości, dodano za to prądy i napięcia na elementach, węzły oraz oczka.
		\end{column}
		\begin{column}{0.6\textwidth}
			\begin{figure}
				\includegraphics[scale=0.08, alt={Na rysunku znajduje się ten sam obwód co poprzednio, ale uzupełniony o oznaczenia prądów, spadków napięć oraz trzy oczka oznaczone O jeden, O dwa i O trzy, a także o oznaczenia trzech węzłów W jeden, W dwa oraz dolnej szyny jako W trzy.
							Po lewej w dolnej gałęzi nadal jest źródło napięcia e, obok którego zaznaczono strzałką kierunek napięcia od dołu do góry.
							Na górze, w pierwszym rezystorze po lewej, oznaczonym wcześniej jako R cztery, jest strzałka prądu skierowana w prawo z opisem i e, obok zaznaczono też spadek napięcia u R cztery strzałką skierowaną w lewo.
							W punkcie między R cztery a R jeden znajduje się węzeł W jeden, z którego w dół biegnie rezystor R dwa z prądem i R dwa skierowanym w dół i ze strzałką napięcia u R dwa skierowaną w górę.
							W kolejnym rezystorze w górnej gałęzi, R jeden, zaznaczono prąd i R jeden skierowany w lewo oraz spadek napięcia u R jeden strzałką w prawo; węzeł po prawej stronie tego rezystora opisany jest jako W dwa.
							Z węzła W dwa w dół biegnie rezystor R trzy, przy którym strzałka prądu i R trzy skierowana jest w dół, a napięcie u R trzy zaznaczono strzałką w górę.
							Po prawej stronie dolnej gałęzi nadal znajduje się źródło prądowe z prądem j skierowanym w górę, a obok zaznaczono napięcie u j między górnym a dolnym zaciskiem źródła.
							Wewnątrz obwodu narysowano trzy pętle oczkowe: po lewej oczko O jeden obejmuje źródło napięcia, rezystor R cztery i rezystor R dwa; środkowe oczko O dwa obejmuje rezystory R jeden, R dwa i R trzy; prawe oczko O trzy obejmuje rezystor R trzy i źródło prądowe.
							Przy dolnej szynie zaznaczono opis W trzy, wskazując, że jest to wspólny węzeł odniesienia dla wszystkich gałęzi obwodu.}]{./imags/L5/fig2b.png}
				\caption{Przykładowe zadanie.}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Równania węzłowe - przykład}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			Na początku skupmy się na węzłach.
			Można zauważyć, że w obwodzie występują 4 węzły, jednak w rzeczywistości dwa dolne węzły stanowią jeden węzeł (oznaczony jako \(W_3\)).
			Można sobie to wyobrazić jako utworzenie trójkąta z rezystorów \(R_1\), \(R_2\) i \(R_3\).
			Wtedy będzie dobrze widoczne, że na dole istnieje jeden wspólny węzeł.
		\end{column}
		\begin{column}{0.6\textwidth}
			\begin{figure}
				\includegraphics[scale=0.08, alt={Na rysunku znajduje się ten sam obwód co poprzednio, ale uzupełniony o oznaczenia prądów, spadków napięć oraz trzy oczka oznaczone O jeden, O dwa i O trzy, a także o oznaczenia trzech węzłów W jeden, W dwa oraz dolnej szyny jako W trzy.
							Po lewej w dolnej gałęzi nadal jest źródło napięcia e, obok którego zaznaczono strzałką kierunek napięcia od dołu do góry.
							Na górze, w pierwszym rezystorze po lewej, oznaczonym wcześniej jako R cztery, jest strzałka prądu skierowana w prawo z opisem i e, obok zaznaczono też spadek napięcia u R cztery strzałką skierowaną w lewo.
							W punkcie między R cztery a R jeden znajduje się węzeł W jeden, z którego w dół biegnie rezystor R dwa z prądem i R dwa skierowanym w dół i ze strzałką napięcia u R dwa skierowaną w górę.
							W kolejnym rezystorze w górnej gałęzi, R jeden, zaznaczono prąd i R jeden skierowany w lewo oraz spadek napięcia u R jeden strzałką w prawo; węzeł po prawej stronie tego rezystora opisany jest jako W dwa.
							Z węzła W dwa w dół biegnie rezystor R trzy, przy którym strzałka prądu i R trzy skierowana jest w dół, a napięcie u R trzy zaznaczono strzałką w górę.
							Po prawej stronie dolnej gałęzi nadal znajduje się źródło prądowe z prądem j skierowanym w górę, a obok zaznaczono napięcie u j między górnym a dolnym zaciskiem źródła.
							Wewnątrz obwodu narysowano trzy pętle oczkowe: po lewej oczko O jeden obejmuje źródło napięcia, rezystor R cztery i rezystor R dwa; środkowe oczko O dwa obejmuje rezystory R jeden, R dwa i R trzy; prawe oczko O trzy obejmuje rezystor R trzy i źródło prądowe.
							Przy dolnej szynie zaznaczono opis W trzy, wskazując, że jest to wspólny węzeł odniesienia dla wszystkich gałęzi obwodu.}]{./imags/L5/fig2b.png}
				\caption{Przykładowe zadanie.}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Równania węzłowe - przykład}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			Strzałki prądowe oznaczone zostały w sposób dowolny; warto jednak przyjąć, że są one zgodne z kierunkowością źródeł.
			Na rezystorach można je oznaczać dowolnie.
			Istotne jest natomiast, aby strzałki napięć na rezystorach były skierowane przeciwnie do strzałek przepływających przez nie prądów.
			Jeśli „intuicyjnie” strzałka zostałaby narysowana odwrotnie, to w wyniku obliczeń pojawi się ujemny prąd lub napięcie (co nie jest problemem – moc nadal wyjdzie dodatnia).
		\end{column}
		\begin{column}{0.6\textwidth}
			\begin{figure}
				\includegraphics[scale=0.08, alt={Na rysunku znajduje się ten sam obwód co poprzednio, ale uzupełniony o oznaczenia prądów, spadków napięć oraz trzy oczka oznaczone O jeden, O dwa i O trzy, a także o oznaczenia trzech węzłów W jeden, W dwa oraz dolnej szyny jako W trzy.
							Po lewej w dolnej gałęzi nadal jest źródło napięcia e, obok którego zaznaczono strzałką kierunek napięcia od dołu do góry.
							Na górze, w pierwszym rezystorze po lewej, oznaczonym wcześniej jako R cztery, jest strzałka prądu skierowana w prawo z opisem i e, obok zaznaczono też spadek napięcia u R cztery strzałką skierowaną w lewo.
							W punkcie między R cztery a R jeden znajduje się węzeł W jeden, z którego w dół biegnie rezystor R dwa z prądem i R dwa skierowanym w dół i ze strzałką napięcia u R dwa skierowaną w górę.
							W kolejnym rezystorze w górnej gałęzi, R jeden, zaznaczono prąd i R jeden skierowany w lewo oraz spadek napięcia u R jeden strzałką w prawo; węzeł po prawej stronie tego rezystora opisany jest jako W dwa.
							Z węzła W dwa w dół biegnie rezystor R trzy, przy którym strzałka prądu i R trzy skierowana jest w dół, a napięcie u R trzy zaznaczono strzałką w górę.
							Po prawej stronie dolnej gałęzi nadal znajduje się źródło prądowe z prądem j skierowanym w górę, a obok zaznaczono napięcie u j między górnym a dolnym zaciskiem źródła.
							Wewnątrz obwodu narysowano trzy pętle oczkowe: po lewej oczko O jeden obejmuje źródło napięcia, rezystor R cztery i rezystor R dwa; środkowe oczko O dwa obejmuje rezystory R jeden, R dwa i R trzy; prawe oczko O trzy obejmuje rezystor R trzy i źródło prądowe.
							Przy dolnej szynie zaznaczono opis W trzy, wskazując, że jest to wspólny węzeł odniesienia dla wszystkich gałęzi obwodu.}]{./imags/L5/fig2b.png}
				\caption{Przykładowe zadanie.}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Równania węzłowe - przykład}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			Równania węzłów:\\
			\(w_1\): \(i_e + i_{R1} - i_{R2} = 0\)\\
			\(w_2\): \(-i_{R1} - i_{R3} + j = 0\)\\
			\(w_3\): \(-i_e + i_{R2} + i_{R3} - j = 0\)
		\end{column}
		\begin{column}{0.6\textwidth}
			\begin{figure}
				\includegraphics[scale=0.08, alt={Na rysunku znajduje się ten sam obwód co poprzednio, ale uzupełniony o oznaczenia prądów, spadków napięć oraz trzy oczka oznaczone O jeden, O dwa i O trzy, a także o oznaczenia trzech węzłów W jeden, W dwa oraz dolnej szyny jako W trzy.
							Po lewej w dolnej gałęzi nadal jest źródło napięcia e, obok którego zaznaczono strzałką kierunek napięcia od dołu do góry.
							Na górze, w pierwszym rezystorze po lewej, oznaczonym wcześniej jako R cztery, jest strzałka prądu skierowana w prawo z opisem i e, obok zaznaczono też spadek napięcia u R cztery strzałką skierowaną w lewo.
							W punkcie między R cztery a R jeden znajduje się węzeł W jeden, z którego w dół biegnie rezystor R dwa z prądem i R dwa skierowanym w dół i ze strzałką napięcia u R dwa skierowaną w górę.
							W kolejnym rezystorze w górnej gałęzi, R jeden, zaznaczono prąd i R jeden skierowany w lewo oraz spadek napięcia u R jeden strzałką w prawo; węzeł po prawej stronie tego rezystora opisany jest jako W dwa.
							Z węzła W dwa w dół biegnie rezystor R trzy, przy którym strzałka prądu i R trzy skierowana jest w dół, a napięcie u R trzy zaznaczono strzałką w górę.
							Po prawej stronie dolnej gałęzi nadal znajduje się źródło prądowe z prądem j skierowanym w górę, a obok zaznaczono napięcie u j między górnym a dolnym zaciskiem źródła.
							Wewnątrz obwodu narysowano trzy pętle oczkowe: po lewej oczko O jeden obejmuje źródło napięcia, rezystor R cztery i rezystor R dwa; środkowe oczko O dwa obejmuje rezystory R jeden, R dwa i R trzy; prawe oczko O trzy obejmuje rezystor R trzy i źródło prądowe.
							Przy dolnej szynie zaznaczono opis W trzy, wskazując, że jest to wspólny węzeł odniesienia dla wszystkich gałęzi obwodu.}]{./imags/L5/fig2b.png}
				\caption{Przykładowe zadanie.}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Równania węzłowe - przykład}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			Równania węzłów:\\
			\(w_1\): \(i_e + i_{R1} - i_{R2} = 0\)\\
			\(w_2\): \(-i_{R1} - i_{R3} + j = 0\)\\
			\(w_3\): \(-i_e + i_{R2} + i_{R3} - j = 0\)\\[0.5em]
			Można zauważyć, że suma trzech powyższych równań jest równa zeru.
			Oznacza to, że są one liniowo zależne, czyli jedno z równań zawiera informację już obecną w pozostałych.
			Z tego powodu w układzie, w którym występuje \(N\) węzłów, używa się równań z dowolnych \(N-1\) węzłów.
		\end{column}
		\begin{column}{0.6\textwidth}
			\begin{figure}
				\includegraphics[scale=0.08, alt={Na rysunku znajduje się ten sam obwód co poprzednio, ale uzupełniony o oznaczenia prądów, spadków napięć oraz trzy oczka oznaczone O jeden, O dwa i O trzy, a także o oznaczenia trzech węzłów W jeden, W dwa oraz dolnej szyny jako W trzy.
							Po lewej w dolnej gałęzi nadal jest źródło napięcia e, obok którego zaznaczono strzałką kierunek napięcia od dołu do góry.
							Na górze, w pierwszym rezystorze po lewej, oznaczonym wcześniej jako R cztery, jest strzałka prądu skierowana w prawo z opisem i e, obok zaznaczono też spadek napięcia u R cztery strzałką skierowaną w lewo.
							W punkcie między R cztery a R jeden znajduje się węzeł W jeden, z którego w dół biegnie rezystor R dwa z prądem i R dwa skierowanym w dół i ze strzałką napięcia u R dwa skierowaną w górę.
							W kolejnym rezystorze w górnej gałęzi, R jeden, zaznaczono prąd i R jeden skierowany w lewo oraz spadek napięcia u R jeden strzałką w prawo; węzeł po prawej stronie tego rezystora opisany jest jako W dwa.
							Z węzła W dwa w dół biegnie rezystor R trzy, przy którym strzałka prądu i R trzy skierowana jest w dół, a napięcie u R trzy zaznaczono strzałką w górę.
							Po prawej stronie dolnej gałęzi nadal znajduje się źródło prądowe z prądem j skierowanym w górę, a obok zaznaczono napięcie u j między górnym a dolnym zaciskiem źródła.
							Wewnątrz obwodu narysowano trzy pętle oczkowe: po lewej oczko O jeden obejmuje źródło napięcia, rezystor R cztery i rezystor R dwa; środkowe oczko O dwa obejmuje rezystory R jeden, R dwa i R trzy; prawe oczko O trzy obejmuje rezystor R trzy i źródło prądowe.
							Przy dolnej szynie zaznaczono opis W trzy, wskazując, że jest to wspólny węzeł odniesienia dla wszystkich gałęzi obwodu.}]{./imags/L5/fig2b.png}
				\caption{Przykładowe zadanie.}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Równania węzłowe - przykład}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			Dla wygody zapiszmy równania węzłów w postaci macierzowej:
			\[
				\begin{bmatrix}
					1  & 1  & -1 & 0  \\
					0  & -1 & 0  & -1 \\
					-1 & 0  & 1  & 1
				\end{bmatrix}
				\begin{bmatrix}
					i_e \\ i_{R1} \\ i_{R2} \\ i_{R3}
				\end{bmatrix}
				=
				\begin{bmatrix}
					0 \\ -j \\ j
				\end{bmatrix}
			\]
			Bez nadmiarowego równania:
			\[
				\begin{bmatrix}
					1 & 1  & -1 & 0  \\
					0 & -1 & 0  & -1
				\end{bmatrix}
				\begin{bmatrix}
					i_e \\ i_{R1} \\ i_{R2} \\ i_{R3}
				\end{bmatrix}
				=
				\begin{bmatrix}
					0 \\ -j
				\end{bmatrix}
			\]
		\end{column}
		\begin{column}{0.6\textwidth}
			\begin{figure}
				\includegraphics[scale=0.08, alt={Na rysunku znajduje się ten sam obwód co poprzednio, ale uzupełniony o oznaczenia prądów, spadków napięć oraz trzy oczka oznaczone O jeden, O dwa i O trzy, a także o oznaczenia trzech węzłów W jeden, W dwa oraz dolnej szyny jako W trzy.
							Po lewej w dolnej gałęzi nadal jest źródło napięcia e, obok którego zaznaczono strzałką kierunek napięcia od dołu do góry.
							Na górze, w pierwszym rezystorze po lewej, oznaczonym wcześniej jako R cztery, jest strzałka prądu skierowana w prawo z opisem i e, obok zaznaczono też spadek napięcia u R cztery strzałką skierowaną w lewo.
							W punkcie między R cztery a R jeden znajduje się węzeł W jeden, z którego w dół biegnie rezystor R dwa z prądem i R dwa skierowanym w dół i ze strzałką napięcia u R dwa skierowaną w górę.
							W kolejnym rezystorze w górnej gałęzi, R jeden, zaznaczono prąd i R jeden skierowany w lewo oraz spadek napięcia u R jeden strzałką w prawo; węzeł po prawej stronie tego rezystora opisany jest jako W dwa.
							Z węzła W dwa w dół biegnie rezystor R trzy, przy którym strzałka prądu i R trzy skierowana jest w dół, a napięcie u R trzy zaznaczono strzałką w górę.
							Po prawej stronie dolnej gałęzi nadal znajduje się źródło prądowe z prądem j skierowanym w górę, a obok zaznaczono napięcie u j między górnym a dolnym zaciskiem źródła.
							Wewnątrz obwodu narysowano trzy pętle oczkowe: po lewej oczko O jeden obejmuje źródło napięcia, rezystor R cztery i rezystor R dwa; środkowe oczko O dwa obejmuje rezystory R jeden, R dwa i R trzy; prawe oczko O trzy obejmuje rezystor R trzy i źródło prądowe.
							Przy dolnej szynie zaznaczono opis W trzy, wskazując, że jest to wspólny węzeł odniesienia dla wszystkich gałęzi obwodu.}]{./imags/L5/fig2b.png}
				\caption{Przykładowe zadanie.}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Równania węzłowe - przykład}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			Zajmijmy się teraz równaniami oczek.
			W układzie występują 3 proste oczka; ich równania układa się, korzystając z NPK.
			Na ogół przyjmuje się, że oczka „obracają się” zgodnie z kierunkiem wskazówek zegara, jednak przyjęcie odwrotnego kierunku zmieni jedynie znaki, a rozwiązanie pozostanie identyczne.
		\end{column}
		\begin{column}{0.6\textwidth}
			\begin{figure}
				\includegraphics[scale=0.08, alt={Na rysunku znajduje się ten sam obwód co poprzednio, ale uzupełniony o oznaczenia prądów, spadków napięć oraz trzy oczka oznaczone O jeden, O dwa i O trzy, a także o oznaczenia trzech węzłów W jeden, W dwa oraz dolnej szyny jako W trzy.
							Po lewej w dolnej gałęzi nadal jest źródło napięcia e, obok którego zaznaczono strzałką kierunek napięcia od dołu do góry.
							Na górze, w pierwszym rezystorze po lewej, oznaczonym wcześniej jako R cztery, jest strzałka prądu skierowana w prawo z opisem i e, obok zaznaczono też spadek napięcia u R cztery strzałką skierowaną w lewo.
							W punkcie między R cztery a R jeden znajduje się węzeł W jeden, z którego w dół biegnie rezystor R dwa z prądem i R dwa skierowanym w dół i ze strzałką napięcia u R dwa skierowaną w górę.
							W kolejnym rezystorze w górnej gałęzi, R jeden, zaznaczono prąd i R jeden skierowany w lewo oraz spadek napięcia u R jeden strzałką w prawo; węzeł po prawej stronie tego rezystora opisany jest jako W dwa.
							Z węzła W dwa w dół biegnie rezystor R trzy, przy którym strzałka prądu i R trzy skierowana jest w dół, a napięcie u R trzy zaznaczono strzałką w górę.
							Po prawej stronie dolnej gałęzi nadal znajduje się źródło prądowe z prądem j skierowanym w górę, a obok zaznaczono napięcie u j między górnym a dolnym zaciskiem źródła.
							Wewnątrz obwodu narysowano trzy pętle oczkowe: po lewej oczko O jeden obejmuje źródło napięcia, rezystor R cztery i rezystor R dwa; środkowe oczko O dwa obejmuje rezystory R jeden, R dwa i R trzy; prawe oczko O trzy obejmuje rezystor R trzy i źródło prądowe.
							Przy dolnej szynie zaznaczono opis W trzy, wskazując, że jest to wspólny węzeł odniesienia dla wszystkich gałęzi obwodu.}]{./imags/L5/fig2b.png}
				\caption{Przykładowe zadanie.}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Równania węzłowe - przykład}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			Równania oczek:\\
			\(O_1\): \(e - U_{R4} - U_{R2} = 0\)\\
			\(O_2\): \(U_{R2} + U_{R1} - U_{R3} = 0\)\\
			\(O_3\): \(U_{R3} - u_j = 0\)\\[0.5em]
			W tym przypadku wszystkie równania są istotne.
			Można również budować oczka przekraczające elementy, np. połączone oczka \(O_1\) i \(O_2\), jednak w ogólnym przypadku nie jest to konieczne.
		\end{column}
		\begin{column}{0.6\textwidth}
			\begin{figure}
				\includegraphics[scale=0.08, alt={Na rysunku znajduje się ten sam obwód co poprzednio, ale uzupełniony o oznaczenia prądów, spadków napięć oraz trzy oczka oznaczone O jeden, O dwa i O trzy, a także o oznaczenia trzech węzłów W jeden, W dwa oraz dolnej szyny jako W trzy.
							Po lewej w dolnej gałęzi nadal jest źródło napięcia e, obok którego zaznaczono strzałką kierunek napięcia od dołu do góry.
							Na górze, w pierwszym rezystorze po lewej, oznaczonym wcześniej jako R cztery, jest strzałka prądu skierowana w prawo z opisem i e, obok zaznaczono też spadek napięcia u R cztery strzałką skierowaną w lewo.
							W punkcie między R cztery a R jeden znajduje się węzeł W jeden, z którego w dół biegnie rezystor R dwa z prądem i R dwa skierowanym w dół i ze strzałką napięcia u R dwa skierowaną w górę.
							W kolejnym rezystorze w górnej gałęzi, R jeden, zaznaczono prąd i R jeden skierowany w lewo oraz spadek napięcia u R jeden strzałką w prawo; węzeł po prawej stronie tego rezystora opisany jest jako W dwa.
							Z węzła W dwa w dół biegnie rezystor R trzy, przy którym strzałka prądu i R trzy skierowana jest w dół, a napięcie u R trzy zaznaczono strzałką w górę.
							Po prawej stronie dolnej gałęzi nadal znajduje się źródło prądowe z prądem j skierowanym w górę, a obok zaznaczono napięcie u j między górnym a dolnym zaciskiem źródła.
							Wewnątrz obwodu narysowano trzy pętle oczkowe: po lewej oczko O jeden obejmuje źródło napięcia, rezystor R cztery i rezystor R dwa; środkowe oczko O dwa obejmuje rezystory R jeden, R dwa i R trzy; prawe oczko O trzy obejmuje rezystor R trzy i źródło prądowe.
							Przy dolnej szynie zaznaczono opis W trzy, wskazując, że jest to wspólny węzeł odniesienia dla wszystkich gałęzi obwodu.}]{./imags/L5/fig2b.png}
				\caption{Przykładowe zadanie.}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Równania węzłowe - przykład}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			Można zauważyć, że równania oczek oparte są o napięcia, które w przypadku rezystorów można wyrazić przez prądy:\\
			\(U_{R1} = i_{R1} R_1\)\\
			\(U_{R2} = i_{R2} R_2\)\\
			\(U_{R3} = i_{R3} R_3\)\\
			\(U_{R4} = i_e R_4\)\\[0.5em]
			Co z kolei pozwala na modyfikację równań oczek:\\
			\(O_1\): \(e - i_e R_4 - i_{R2} R_2 = 0\)\\
			\(O_2\): \(i_{R2} R_2 + i_{R1} R_1 - i_{R3} R_3 = 0\)\\
			\(O_3\): \(i_{R3} R_3 - u_j = 0\)
		\end{column}
		\begin{column}{0.6\textwidth}
			\begin{figure}
				\includegraphics[scale=0.08, alt={Na rysunku znajduje się ten sam obwód co poprzednio, ale uzupełniony o oznaczenia prądów, spadków napięć oraz trzy oczka oznaczone O jeden, O dwa i O trzy, a także o oznaczenia trzech węzłów W jeden, W dwa oraz dolnej szyny jako W trzy.
							Po lewej w dolnej gałęzi nadal jest źródło napięcia e, obok którego zaznaczono strzałką kierunek napięcia od dołu do góry.
							Na górze, w pierwszym rezystorze po lewej, oznaczonym wcześniej jako R cztery, jest strzałka prądu skierowana w prawo z opisem i e, obok zaznaczono też spadek napięcia u R cztery strzałką skierowaną w lewo.
							W punkcie między R cztery a R jeden znajduje się węzeł W jeden, z którego w dół biegnie rezystor R dwa z prądem i R dwa skierowanym w dół i ze strzałką napięcia u R dwa skierowaną w górę.
							W kolejnym rezystorze w górnej gałęzi, R jeden, zaznaczono prąd i R jeden skierowany w lewo oraz spadek napięcia u R jeden strzałką w prawo; węzeł po prawej stronie tego rezystora opisany jest jako W dwa.
							Z węzła W dwa w dół biegnie rezystor R trzy, przy którym strzałka prądu i R trzy skierowana jest w dół, a napięcie u R trzy zaznaczono strzałką w górę.
							Po prawej stronie dolnej gałęzi nadal znajduje się źródło prądowe z prądem j skierowanym w górę, a obok zaznaczono napięcie u j między górnym a dolnym zaciskiem źródła.
							Wewnątrz obwodu narysowano trzy pętle oczkowe: po lewej oczko O jeden obejmuje źródło napięcia, rezystor R cztery i rezystor R dwa; środkowe oczko O dwa obejmuje rezystory R jeden, R dwa i R trzy; prawe oczko O trzy obejmuje rezystor R trzy i źródło prądowe.
							Przy dolnej szynie zaznaczono opis W trzy, wskazując, że jest to wspólny węzeł odniesienia dla wszystkich gałęzi obwodu.}]{./imags/L5/fig2b.png}
				\caption{Przykładowe zadanie.}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Równania węzłowe - przykład}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.5\textwidth}
			Ponownie, równania można przedstawić w postaci macierzowej:
			\[
				\begin{bmatrix}
					- R_4 & 0   & - R_2 & 0     & 0  \\
					0     & R_1 & R_2   & - R_3 & 0  \\
					0     & 0   & 0     & R_3   & -1
				\end{bmatrix}
				\begin{bmatrix}
					i_e \\ i_{R1} \\ i_{R2} \\ i_{R3} \\ u_j
				\end{bmatrix}
				=
				\begin{bmatrix}
					- e \\ 0 \\ 0
				\end{bmatrix}
			\]
		\end{column}
		\begin{column}{0.5\textwidth}
			\begin{figure}
				\includegraphics[scale=0.07, alt={Na rysunku znajduje się ten sam obwód co poprzednio, ale uzupełniony o oznaczenia prądów, spadków napięć oraz trzy oczka oznaczone O jeden, O dwa i O trzy, a także o oznaczenia trzech węzłów W jeden, W dwa oraz dolnej szyny jako W trzy.
							Po lewej w dolnej gałęzi nadal jest źródło napięcia e, obok którego zaznaczono strzałką kierunek napięcia od dołu do góry.
							Na górze, w pierwszym rezystorze po lewej, oznaczonym wcześniej jako R cztery, jest strzałka prądu skierowana w prawo z opisem i e, obok zaznaczono też spadek napięcia u R cztery strzałką skierowaną w lewo.
							W punkcie między R cztery a R jeden znajduje się węzeł W jeden, z którego w dół biegnie rezystor R dwa z prądem i R dwa skierowanym w dół i ze strzałką napięcia u R dwa skierowaną w górę.
							W kolejnym rezystorze w górnej gałęzi, R jeden, zaznaczono prąd i R jeden skierowany w lewo oraz spadek napięcia u R jeden strzałką w prawo; węzeł po prawej stronie tego rezystora opisany jest jako W dwa.
							Z węzła W dwa w dół biegnie rezystor R trzy, przy którym strzałka prądu i R trzy skierowana jest w dół, a napięcie u R trzy zaznaczono strzałką w górę.
							Po prawej stronie dolnej gałęzi nadal znajduje się źródło prądowe z prądem j skierowanym w górę, a obok zaznaczono napięcie u j między górnym a dolnym zaciskiem źródła.
							Wewnątrz obwodu narysowano trzy pętle oczkowe: po lewej oczko O jeden obejmuje źródło napięcia, rezystor R cztery i rezystor R dwa; środkowe oczko O dwa obejmuje rezystory R jeden, R dwa i R trzy; prawe oczko O trzy obejmuje rezystor R trzy i źródło prądowe.
							Przy dolnej szynie zaznaczono opis W trzy, wskazując, że jest to wspólny węzeł odniesienia dla wszystkich gałęzi obwodu.}]{./imags/L5/fig2b.png}
				\caption{Przykładowe zadanie.}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Równania węzłowe - przykład}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.5\textwidth}
			Łącząc równania uzyskane z węzłów i oczek, uzyskuje się równanie macierzowe postaci:
			\[
				\begin{bmatrix}
					- R_4 & 0   & - R_2 & 0     & 0  \\
					0     & R_1 & R_2   & - R_3 & 0  \\
					0     & 0   & 0     & R_3   & -1 \\
					1     & 1   & -1    & 0     & 0  \\
					0     & -1  & 0     & -1    & 0
				\end{bmatrix}
				\begin{bmatrix}
					i_e \\ i_{R1} \\ i_{R2} \\ i_{R3} \\ u_j
				\end{bmatrix}
				=
				\begin{bmatrix}
					- e \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ - j
				\end{bmatrix}
			\]
		\end{column}
		\begin{column}{0.5\textwidth}
			\begin{figure}
				\includegraphics[scale=0.07, alt={Na rysunku znajduje się ten sam obwód co poprzednio, ale uzupełniony o oznaczenia prądów, spadków napięć oraz trzy oczka oznaczone O jeden, O dwa i O trzy, a także o oznaczenia trzech węzłów W jeden, W dwa oraz dolnej szyny jako W trzy.
							Po lewej w dolnej gałęzi nadal jest źródło napięcia e, obok którego zaznaczono strzałką kierunek napięcia od dołu do góry.
							Na górze, w pierwszym rezystorze po lewej, oznaczonym wcześniej jako R cztery, jest strzałka prądu skierowana w prawo z opisem i e, obok zaznaczono też spadek napięcia u R cztery strzałką skierowaną w lewo.
							W punkcie między R cztery a R jeden znajduje się węzeł W jeden, z którego w dół biegnie rezystor R dwa z prądem i R dwa skierowanym w dół i ze strzałką napięcia u R dwa skierowaną w górę.
							W kolejnym rezystorze w górnej gałęzi, R jeden, zaznaczono prąd i R jeden skierowany w lewo oraz spadek napięcia u R jeden strzałką w prawo; węzeł po prawej stronie tego rezystora opisany jest jako W dwa.
							Z węzła W dwa w dół biegnie rezystor R trzy, przy którym strzałka prądu i R trzy skierowana jest w dół, a napięcie u R trzy zaznaczono strzałką w górę.
							Po prawej stronie dolnej gałęzi nadal znajduje się źródło prądowe z prądem j skierowanym w górę, a obok zaznaczono napięcie u j między górnym a dolnym zaciskiem źródła.
							Wewnątrz obwodu narysowano trzy pętle oczkowe: po lewej oczko O jeden obejmuje źródło napięcia, rezystor R cztery i rezystor R dwa; środkowe oczko O dwa obejmuje rezystory R jeden, R dwa i R trzy; prawe oczko O trzy obejmuje rezystor R trzy i źródło prądowe.
							Przy dolnej szynie zaznaczono opis W trzy, wskazując, że jest to wspólny węzeł odniesienia dla wszystkich gałęzi obwodu.}]{./imags/L5/fig2b.png}
				\caption{Przykładowe zadanie.}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Równania węzłowe - przykład}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.5\textwidth}
			Równanie to posiada jednoznaczne rozwiązanie, które można wyznaczyć, wykonując operację:
			\[
				\begin{bmatrix}
					i_e \\ i_{R1} \\ i_{R2} \\ i_{R3} \\ u_j
				\end{bmatrix}
				=
				\begin{bmatrix}
					- R_4 & 0   & - R_2 & 0     & 0  \\
					0     & R_1 & R_2   & - R_3 & 0  \\
					0     & 0   & 0     & R_3   & -1 \\
					1     & 1   & -1    & 0     & 0  \\
					0     & -1  & 0     & -1    & 0
				\end{bmatrix}^{-1}
				\begin{bmatrix}
					- e \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ - j
				\end{bmatrix}
			\]
		\end{column}
		\begin{column}{0.5\textwidth}
			\begin{figure}
				\includegraphics[scale=0.07, alt={Na rysunku znajduje się ten sam obwód co poprzednio, ale uzupełniony o oznaczenia prądów, spadków napięć oraz trzy oczka oznaczone O jeden, O dwa i O trzy, a także o oznaczenia trzech węzłów W jeden, W dwa oraz dolnej szyny jako W trzy.
							Po lewej w dolnej gałęzi nadal jest źródło napięcia e, obok którego zaznaczono strzałką kierunek napięcia od dołu do góry.
							Na górze, w pierwszym rezystorze po lewej, oznaczonym wcześniej jako R cztery, jest strzałka prądu skierowana w prawo z opisem i e, obok zaznaczono też spadek napięcia u R cztery strzałką skierowaną w lewo.
							W punkcie między R cztery a R jeden znajduje się węzeł W jeden, z którego w dół biegnie rezystor R dwa z prądem i R dwa skierowanym w dół i ze strzałką napięcia u R dwa skierowaną w górę.
							W kolejnym rezystorze w górnej gałęzi, R jeden, zaznaczono prąd i R jeden skierowany w lewo oraz spadek napięcia u R jeden strzałką w prawo; węzeł po prawej stronie tego rezystora opisany jest jako W dwa.
							Z węzła W dwa w dół biegnie rezystor R trzy, przy którym strzałka prądu i R trzy skierowana jest w dół, a napięcie u R trzy zaznaczono strzałką w górę.
							Po prawej stronie dolnej gałęzi nadal znajduje się źródło prądowe z prądem j skierowanym w górę, a obok zaznaczono napięcie u j między górnym a dolnym zaciskiem źródła.
							Wewnątrz obwodu narysowano trzy pętle oczkowe: po lewej oczko O jeden obejmuje źródło napięcia, rezystor R cztery i rezystor R dwa; środkowe oczko O dwa obejmuje rezystory R jeden, R dwa i R trzy; prawe oczko O trzy obejmuje rezystor R trzy i źródło prądowe.
							Przy dolnej szynie zaznaczono opis W trzy, wskazując, że jest to wspólny węzeł odniesienia dla wszystkich gałęzi obwodu.}]{./imags/L5/fig2b.png}
				\caption{Przykładowe zadanie.}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Równania węzłowe - przykład}
	Rozwiązanie tego typu równania można uzyskać dowolnym, ulubionym programem
	obliczającym równania macierzowe.\\
	Macierz \(A\) w Matlabie:
	\begin{lstlisting}[style=python-wcag]
>> A=[-4 0 -2 0 0; 0 1 2 -3 0; 0 0 0 3 -1; 1 1 -1 0 0; 0 -1 0 -1 0]
A =

-4     0    -2     0     0
 0     1     2    -3     0
 0     0     0     3    -1
 1     1    -1     0     0
 0    -1     0    -1     0
\end{lstlisting}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Równania węzłowe - przykład}
	Wektor \(y\) w Matlabie:
	\begin{lstlisting}[style=python-wcag]
>> y=[-5; 0; 0; 0; -1]
y =

    -5
     0
     0
     0
    -1
\end{lstlisting}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Równania węzłowe - przykład}
	Rozwiązanie równania:
	\begin{lstlisting}[style=python-wcag]
>> A^-1*y
ans =

    0.7500
    0.2500
    1.0000
    0.7500
    2.2500
\end{lstlisting}
\end{frame}

\begin{frame}{Przykład - symulacja}
	\begin{block}{Przykład - symulacja}
		\url{https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?ctz=CQAgjCAMB0l3BWcMBMcUHYMGZIA4UA2ATmIxG2xCQBYqEBTAWjDACgBLEGwmkFPHm69whSFHBsAThWyFR4tELBiJ7GUoUg84lePE1p-fFs0Chio5Xl7Z88xOxsA7na08+tyC+F8H1-kEoHwCHMyDvV3ChHUCLNgA3bUUg2K8JGnEkfShoBDYgA}
	\end{block}
\end{frame}