\sect{Wykład 3}

\begin{frame}{Bilans mocy}
	\begin{block}{Bilans mocy}
		Wykonanie bilansu mocy polega na sprawdzeniu, czy suma mocy dostarczanej do obwodu
		oraz wydzielanej przez jego elementy jest sobie równa.
		Sprawdzenie bilansu mocy pozwala na weryfikację poprawności obliczeń.
	\end{block}
	\begin{itemize}
		\item[\bt] Na rezystorach moc może się jedynie wydzielać.
		\item[\bt] Źródła napięciowe oraz prądowe mogą zarówno dostarczać, jak i pobierać moc z obwodu.
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Bilans mocy}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.5\textwidth}
			\begin{block}{Źródła dostarczające moc}
				Jeżeli strzałka napięcia jest zgodna z kierunkiem przepływu prądu,
				to źródła dostarczają moc do obwodu (jak w przypadku po prawej).
			\end{block}
		\end{column}
		\begin{column}{0.5\textwidth}
			\begin{figure}
				\includegraphics[scale=0.08, alt={Po lewej stronie znajduje się idealne źródło napięciowe, przedstawione jako pojedyncze koło, z zaznaczonym napięciem E oraz kierunkiem prądu iE wychodzącym z bieguna dodatniego.
							Po prawej stronie znajduje się idealne źródło prądowe, narysowane jako podwójny okrąg, przez który płynie prąd J, a obok zaznaczone są: kierunek prądu oraz odpowiadające mu napięcie uJ na zaciskach tego źródła.}]{imags/L3/Pin.png}
				\caption{Źródła dostarczające moc do obwodu.}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Bilans mocy}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.5\textwidth}
			\begin{block}{Źródła pobierające moc}
				Jeżeli strzałka napięcia jest skierowana przeciwnie do kierunku przepływu prądu,
				to źródła stanowią odbiornik mocy w obwodzie (jak w przypadku po prawej).
			\end{block}
		\end{column}
		\begin{column}{0.5\textwidth}
			\begin{figure}
				\includegraphics[scale=0.08, alt={Po lewej stronie jest idealne źródło napięciowe (pojedyncze koło) z zaznaczonym napięciem E skierowanym w górę oraz prądem iE płynącym w dół przez element.
							Po prawej stronie jest idealne źródło prądowe (podwójny okrąg), w którym prąd J płynie w górę, natomiast napięcie na jego zaciskach uJ jest skierowane w dół, co oznacza przeciwny zwrot względem prądu.}]{imags/L3/Pout.png}
				\caption{Źródła pobierające moc z obwodu.}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Bilans mocy – przykład 1}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.6\textwidth}
			Na schemacie po prawej widoczne jest jedno źródło napięciowe o napięciu $U = 5\,\text{V}$
			połączone z rezystorem o rezystancji $R = 10\,\Omega$.
			W takiej konfiguracji całe napięcie ze źródła odłoży się na rezystorze (NPK).
			W efekcie przez rezystor oraz źródło popłynie prąd o natężeniu
			\[
				i = \frac{u}{R} = 0{,}5\,\text{A}.
			\]
		\end{column}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			\begin{figure}
				\includegraphics[scale=0.08, alt={Na rysunku jest prosty obwód z idealnym źródłem napięciowym o napięciu u = 5 voltów po lewej stronie.
							Źródło zasila rezystor o rezystancji R = 10 omów, włączony w szereg w górnej gałęzi obwodu, więc ten sam prąd płynie przez źródło i rezystor.}]{imags/L3/Example1.png}
				\caption{Przykład 1.}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Bilans mocy – przykład 1}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.6\textwidth}
			Moc dostarczona w obwodzie:
			\[
				P_d = u \cdot i = 5\,\text{V} \cdot 0{,}5\,\text{A} = 2{,}5\,\text{W}.
			\]
			Moc oddawana w obwodzie:
			\[
				P_o = u \cdot i = 5\,\text{V} \cdot 0{,}5\,\text{A} = 2{,}5\,\text{W}.
			\]
			Moc dostarczona jest równa mocy oddanej.
		\end{column}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			\begin{figure}
				\includegraphics[scale=0.08, alt={Na rysunku jest prosty obwód z idealnym źródłem napięciowym o napięciu u = 5 voltów po lewej stronie.
							Źródło zasila rezystor o rezystancji R = 10 omów, włączony w szereg w górnej gałęzi obwodu, więc ten sam prąd płynie przez źródło i rezystor.}]{imags/L3/Example1.png}
				\caption{Przykład 1.}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Przykład 1 – symulacja}
	\begin{block}{Przykład 1 – symulacja}
		\url{https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html}
	\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{Bilans mocy – przykład 2}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.6\textwidth}
			Po prawej stronie widoczny jest nieco bardziej złożony schemat.
			Obwód składa się z jednego źródła i trzech rezystorów.
			Wykonanie bilansu mocy wymaga znajomości napięcia i prądu na każdym z elementów.
			Najprostszym sposobem obliczenia tych wartości jest przekształcenie obwodu
			z wykorzystaniem reguł łączenia rezystorów, obliczenie napięć i prądów,
			a następnie przywracanie pierwotnych połączeń.
		\end{column}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			\begin{figure}
				\includegraphics[scale=0.08, alt={Ten obwód zawiera źródło napięciowe 5 V w szeregu z rezystorem R1 = 10 omów, po czym prąd dochodzi do dwóch równoległych rezystorów R2 i R3, każdy o wartości 30 omów.
							Oba równoległe rezystory łączą się z powrotem w jeden przewód, który wraca do źródła, tworząc zamkniętą pętlę.}]{imags/L3/Example2.png}
				\caption{Przykład 2.}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Bilans mocy – przykład 2}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.6\textwidth}
			Dwa równolegle połączone rezystory $R_2$ i $R_3$ mają tę samą rezystancję $30\,\Omega$.
			Ich rezystancja zastępcza wynosi
			\[
				R_{23} = \frac{30 \cdot 30}{30 + 30}\,\Omega = 15\,\Omega.
			\]
			Po takiej zamianie pozostaje źródło napięciowe oraz szeregowe połączenie rezystorów
			$R_1 = 10\,\Omega$ oraz $R_{23} = 15\,\Omega$.
			Oba rezystory można zastąpić pojedynczym rezystorem o rezystancji
			\[
				R_z = 25\,\Omega.
			\]
		\end{column}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			\begin{figure}
				\includegraphics[scale=0.08, alt={Ten obwód zawiera źródło napięciowe 5 V w szeregu z rezystorem R1 = 10 omów, po czym prąd dochodzi do dwóch równoległych rezystorów R2 i R3, każdy o wartości 30 omów.
							Oba równoległe rezystory łączą się z powrotem w jeden przewód, który wraca do źródła, tworząc zamkniętą pętlę.}]{imags/L3/Example2.png}
				\caption{Przykład 2.}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Bilans mocy – przykład 2}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.6\textwidth}
			Pozostaje wtedy źródło napięciowe o napięciu $u = 5\,\text{V}$ połączone
			z rezystorem o rezystancji $R_z = 25\,\Omega$.
			W takim wypadku ze źródła będzie płynął prąd
			\[
				i = \frac{5\,\text{V}}{25\,\Omega} = 0{,}2\,\text{A}.
			\]
			Jak widać na schemacie po prawej, prąd ten popłynie przez rezystor $R_1$,
			skutkując powstaniem na jego zaciskach napięcia
			\[
				u_1 = i \cdot R_1 = 0{,}2\,\text{A} \cdot 10\,\Omega = 2\,\text{V}.
			\]
		\end{column}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			\begin{figure}
				\includegraphics[scale=0.08, alt={Ten obwód zawiera źródło napięciowe 5 V w szeregu z rezystorem R1 = 10 omów, po czym prąd dochodzi do dwóch równoległych rezystorów R2 i R3, każdy o wartości 30 omów.
							Oba równoległe rezystory łączą się z powrotem w jeden przewód, który wraca do źródła, tworząc zamkniętą pętlę.}]{imags/L3/Example2.png}
				\caption{Przykład 2.}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Bilans mocy – przykład 2}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.6\textwidth}
			Zgodnie z napięciowym prawem Kirchhoffa: skoro źródło dostarcza napięcie $5\,\text{V}$,
			a na rezystorze $R_1$ odkłada się $2\,\text{V}$,
			to na rezystorach $R_2$ i $R_3$ musi się odkładać napięcie
			\[
				u_{23} = 5\,\text{V} - 2\,\text{V} = 3\,\text{V}.
			\]
			Ponieważ $R_2$ i $R_3$ są równoległe, napięcie na obu jest takie samo.
			Prądy w gałęziach wynoszą:
			\[
				i_2 = i_3 = \frac{u_{23}}{R_2} = \frac{3\,\text{V}}{30\,\Omega} = 0{,}1\,\text{A}.
			\]
			Prąd $0{,}2\,\text{A}$ płynący przez rezystor $R_1$ rozdziela się więc równomiernie
			na dwie gałęzie.
		\end{column}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			\begin{figure}
				\includegraphics[scale=0.08, alt={Ten obwód zawiera źródło napięciowe 5 V w szeregu z rezystorem R1 = 10 omów, po czym prąd dochodzi do dwóch równoległych rezystorów R2 i R3, każdy o wartości 30 omów.
							Oba równoległe rezystory łączą się z powrotem w jeden przewód, który wraca do źródła, tworząc zamkniętą pętlę.}]{imags/L3/Example2.png}
				\caption{Przykład 2.}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Bilans mocy – przykład 2}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.6\textwidth}
			Znając wszystkie wartości prądów i napięć można wykonać bilans mocy.

			Moc dostarczona w obwodzie:
			\[
				P_d = u \cdot i = 5\,\text{V} \cdot 0{,}2\,\text{A} = 1\,\text{W}.
			\]

			Moc oddawana w obwodzie:
			\[
				P_1 = i \cdot u_1 = 0{,}2\,\text{A} \cdot 2\,\text{V} = 0{,}4\,\text{W},
			\]
			\[
				P_2 = i_2 \cdot u_{23} = 0{,}1\,\text{A} \cdot 3\,\text{V} = 0{,}3\,\text{W},
			\]
			\[
				P_3 = i_3 \cdot u_{23} = 0{,}1\,\text{A} \cdot 3\,\text{V} = 0{,}3\,\text{W}.
			\]
			Suma mocy dostarczonej: $1\,\text{W}$, suma mocy oddawanej: $0{,}4 + 0{,}3 + 0{,}3 = 1\,\text{W}$.
		\end{column}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			\begin{figure}
				\includegraphics[scale=0.08, alt={Ten obwód zawiera źródło napięciowe 5 V w szeregu z rezystorem R1 = 10 omów, po czym prąd dochodzi do dwóch równoległych rezystorów R2 i R3, każdy o wartości 30 omów.
							Oba równoległe rezystory łączą się z powrotem w jeden przewód, który wraca do źródła, tworząc zamkniętą pętlę.}]{imags/L3/Example2.png}
				\caption{Przykład 2.}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Przykład 2 – symulacja}
	\begin{block}{Przykład 2 – symulacja}
		\url{https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html}
	\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{Bilans mocy – przykład 3}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.6\textwidth}
			Trzeci przykład stanowi schemat zbudowany ze źródła napięciowego,
			źródła prądowego oraz jednego rezystora.
			Ich wartości pokazane są na rysunku po prawej.
			Prąd wymuszany przez źródło prądowe o wydajności $j = 1\,\text{A}$ jest zgodny
			z kierunkiem napięcia źródła napięciowego.
		\end{column}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			\begin{figure}
				\includegraphics[scale=0.08, alt={W obwodzie znajduje się idealne źródło napięciowe o wartości 5 V po lewej stronie oraz szeregowo połączony rezystor R = 10 omów w górnej gałęzi.
							Po prawej stronie włączone jest idealne źródło prądowe o wartości 1 A, którego strzałka jest skierowana w dół, czyli przeciwnie do kierunku prądu wypływającego z źródła napięciowego.}]{imags/L3/Example3.png}
				\caption{Przykład 3.}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Bilans mocy – przykład 3}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.6\textwidth}
			Przepływ prądu $j$ przez rezystor $R = 10\,\Omega$ powoduje powstanie na nim
			napięcia o wartości
			\[
				u_R = 10\,\text{V},
			\]
			o zwrocie przeciwnym do przepływu prądu (czyli w lewo).
			W efekcie powstaje oczko, w którym napięcia muszą się wyrównać:
			\[
				u - u_R + u_j = 0.
			\]
			Znając wartości $u = 5\,\text{V}$ i $u_R = 10\,\text{V}$, można obliczyć
			\[
				u_j = 5\,\text{V}.
			\]
		\end{column}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			\begin{figure}
				\includegraphics[scale=0.08, alt={W obwodzie znajduje się idealne źródło napięciowe o wartości 5 V po lewej stronie oraz szeregowo połączony rezystor R = 10 omów w górnej gałęzi.
							Po prawej stronie włączone jest idealne źródło prądowe o wartości 1 A, którego strzałka jest skierowana w dół, czyli przeciwnie do kierunku prądu wypływającego z źródła napięciowego.}]{imags/L3/Example3.png}
				\caption{Przykład 3.}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Bilans mocy – przykład 3}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.6\textwidth}
			Obliczone wartości pozwalają wykonać bilans mocy.

			Moc dostarczona w obwodzie:
			\[
				P_u = u \cdot j = 5\,\text{V} \cdot 1\,\text{A} = 5\,\text{W},
			\]
			\[
				P_j = u_j \cdot j = 5\,\text{V} \cdot 1\,\text{A} = 5\,\text{W}.
			\]

			Moc oddawana w obwodzie:
			\[
				P_R = u_R \cdot j = 10\,\text{V} \cdot 1\,\text{A} = 10\,\text{W}.
			\]

			Suma mocy dostarczonej: $5\,\text{W} + 5\,\text{W} = 10\,\text{W}$,
			suma mocy oddawanej: $10\,\text{W}$.
		\end{column}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			\begin{figure}
				\includegraphics[scale=0.08, alt={W obwodzie znajduje się idealne źródło napięciowe o wartości 5 V po lewej stronie oraz szeregowo połączony rezystor R = 10 omów w górnej gałęzi.
							Po prawej stronie włączone jest idealne źródło prądowe o wartości 1 A, którego strzałka jest skierowana w dół, czyli przeciwnie do kierunku prądu wypływającego z źródła napięciowego.}]{imags/L3/Example3.png}
				\caption{Przykład 3.}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Przykład 3 – symulacja}
	\begin{block}{Przykład 3 – symulacja}
		\url{https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html}
	\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{Bilans mocy – przykład 4}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.6\textwidth}
			Czwarty, ostatni przykład różni się od poprzedniego jedynie zwrotem źródła prądowego.
			Efektem jest jednak znaczna zmiana mocy dostarczanej i oddawanej w obwodzie.
			Na początku należy zauważyć, że przez rezystor $R$ przepływa prąd $j$ o natężeniu
			$1\,\text{A}$, skutkując powstaniem na zaciskach rezystora napięcia
			$u_R = 10\,\text{V}$.
			W przeciwieństwie do poprzedniego przykładu,
			strzałka napięcia będzie skierowana w prawo.
		\end{column}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			\begin{figure}
				\includegraphics[scale=0.08, alt={W obwodzie znajduje się idealne źródło napięciowe o wartości 5 V po lewej oraz szeregowo włączony rezystor R = 10 omów w górnej gałęzi.
							Po prawej stronie jest idealne źródło prądowe o wartości 1 A, przez które ten sam prąd przepływa wzdłuż całej pętli.}]{imags/L3/Example4.png}
				\caption{Przykład 4.}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Bilans mocy – przykład 4}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.6\textwidth}
			Wiedza ta pozwala zapisać równanie oczka:
			\[
				u + u_R - u_j = 0.
			\]
			Podstawiając wartości, otrzymujemy
			\[
				u_j = 15\,\text{V}.
			\]
			Znane są wszystkie wartości, co pozwala na wykonanie bilansu mocy.
		\end{column}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			\begin{figure}
				\includegraphics[scale=0.08, alt={W obwodzie znajduje się idealne źródło napięciowe o wartości 5 V po lewej oraz szeregowo włączony rezystor R = 10 omów w górnej gałęzi.
							Po prawej stronie jest idealne źródło prądowe o wartości 1 A, przez które ten sam prąd przepływa wzdłuż całej pętli.}]{imags/L3/Example4.png}
				\caption{Przykład 4.}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Bilans mocy – przykład 4}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.6\textwidth}
			Obliczone wartości pozwalają wykonać bilans mocy (sposób 1).

			Moc dostarczona w obwodzie:
			\[
				P_u = u \cdot (-j) = 5\,\text{V} \cdot (-1\,\text{A}) = -5\,\text{W},
			\]
			znak ujemny wynika z przeciwnego zwrotu strzałek napięcia i prądu
			(w tym ujęciu źródło napięciowe pobiera moc).
			\[
				P_j = u_j \cdot j = 15\,\text{V} \cdot 1\,\text{A} = 15\,\text{W}.
			\]

			Moc oddawana w obwodzie:
			\[
				P_R = u_R \cdot j = 10\,\text{V} \cdot 1\,\text{A} = 10\,\text{W}.
			\]

			Suma mocy dostarczonej: $-5\,\text{W} + 15\,\text{W} = 10\,\text{W}$,
			suma mocy oddawanej: $10\,\text{W}$.
		\end{column}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			\begin{figure}
				\includegraphics[scale=0.08, alt={W obwodzie znajduje się idealne źródło napięciowe o wartości 5 V po lewej oraz szeregowo włączony rezystor R = 10 omów w górnej gałęzi.
							Po prawej stronie jest idealne źródło prądowe o wartości 1 A, przez które ten sam prąd przepływa wzdłuż całej pętli.}]{imags/L3/Example4.png}
				\caption{Przykład 4.}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Bilans mocy – przykład 4}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.6\textwidth}
			Obliczone wartości pozwalają wykonać bilans mocy (sposób 2).

			Moc dostarczona w obwodzie:
			\[
				P_j = u_j \cdot j = 15\,\text{V} \cdot 1\,\text{A} = 15\,\text{W}.
			\]

			Moc oddawana w obwodzie:
			\[
				P_u = u \cdot j = 5\,\text{V} \cdot 1\,\text{A} = 5\,\text{W},
			\]
			\[
				P_R = u_R \cdot j = 10\,\text{V} \cdot 1\,\text{A} = 10\,\text{W}.
			\]

			Suma mocy dostarczonej: $15\,\text{W}$,
			suma mocy oddawanej: $5\,\text{W} + 10\,\text{W} = 15\,\text{W}$.
			Oba podejścia są prawidłowe; praktycznie wygodniejsze jest pierwsze,
			bo zmniejsza ryzyko pomyłek przy ujemnych napięciach i prądach.
		\end{column}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			\begin{figure}
				\includegraphics[scale=0.08, alt={W obwodzie znajduje się idealne źródło napięciowe o wartości 5 V po lewej oraz szeregowo włączony rezystor R = 10 omów w górnej gałęzi.
							Po prawej stronie jest idealne źródło prądowe o wartości 1 A, przez które ten sam prąd przepływa wzdłuż całej pętli.}]{imags/L3/Example4.png}
				\caption{Przykład 4.}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Przykład 4 – symulacja}
	\begin{block}{Przykład 4 – symulacja}
		\url{https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html}
	\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{Optymalny pobór mocy}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.6\textwidth}
			Schemat po prawej przedstawia rzeczywiste źródło Thévenina z dołączonym
			odbiornikiem mocy.
			Rozważymy, jak zależy moc wydzielana na tym rezystorze (odbiorniku mocy)
			od wartości jego rezystancji.
		\end{column}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			\begin{figure}
				\includegraphics[scale=0.08, alt={W obwodzie jest idealne źródło napięciowe o wartości u, połączone szeregowo z dwoma rezystorami: rezystorem wewnętrznym (prostokąt u góry) oraz rezystorem obciążenia Rd po prawej stronie.
							Napięcie na rezystorze wewnętrznym oznaczono jako u_RW ze strzałką w lewo, napięcie na rezystorze obciążenia jako u_RD ze strzałką w górę, a przez oba rezystory płynie ten sam prąd i zgodnie z kierunkiem zaznaczonej strzałki w pętli.}]{imags/L3/OptPower.png}
				\caption{Optymalny pobór mocy.}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Optymalny pobór mocy}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.6\textwidth}
			Na podstawie dzielnika napięciowego można obliczyć, że napięcie na rezystorze
			$R_d$ wynosi
			\[
				u_d = u \frac{R_d}{R_w + R_d}.
			\]
			Prąd tego rezystora to
			\[
				i = \frac{u}{R_w + R_d}.
			\]
		\end{column}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			\begin{figure}
				\includegraphics[scale=0.08, alt={W obwodzie jest idealne źródło napięciowe o wartości u, połączone szeregowo z dwoma rezystorami: rezystorem wewnętrznym (prostokąt u góry) oraz rezystorem obciążenia Rd po prawej stronie.
							Napięcie na rezystorze wewnętrznym oznaczono jako u_RW ze strzałką w lewo, napięcie na rezystorze obciążenia jako u_RD ze strzałką w górę, a przez oba rezystory płynie ten sam prąd i zgodnie z kierunkiem zaznaczonej strzałki w pętli.}]{imags/L3/OptPower.png}
				\caption{Optymalny pobór mocy.}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Optymalny pobór mocy}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.6\textwidth}
			Moc wydzielana na rezystorze $R_d$ jest zależna od jego wartości i wynosi
			\[
				P(R_d) = u_d \cdot i
				= \frac{u R_d}{R_w + R_d} \cdot \frac{u}{R_w + R_d}
				= \frac{u^{2} R_d}{R_d^{2} + 2 R_d R_w + R_w^{2}}.
			\]
			Aby wyznaczyć maksymalną moc, trzeba policzyć pochodną funkcji $P(R_d)$
			i przyrównać ją do zera.
		\end{column}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			\begin{figure}
				\includegraphics[scale=0.08, alt={W obwodzie jest idealne źródło napięciowe o wartości u, połączone szeregowo z dwoma rezystorami: rezystorem wewnętrznym (prostokąt u góry) oraz rezystorem obciążenia Rd po prawej stronie.
							Napięcie na rezystorze wewnętrznym oznaczono jako u_RW ze strzałką w lewo, napięcie na rezystorze obciążenia jako u_RD ze strzałką w górę, a przez oba rezystory płynie ten sam prąd i zgodnie z kierunkiem zaznaczonej strzałki w pętli.}]{imags/L3/OptPower.png}
				\caption{Optymalny pobór mocy.}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Optymalny pobór mocy}
	\begin{columns}
		\begin{column}{0.6\textwidth}
			Różniczkując i upraszczając, otrzymujemy warunek ekstremum:
			\[
				R_d^{2} + 2 R_d R_w + R_w^{2}
				- R_d \bigl(2 R_d + 2 R_w\bigr) = 0,
			\]
			\[
				R_d^{2} + 2 R_d R_w + R_w^{2}
				- 2 R_d^{2} - 2 R_d R_w = 0,
			\]
			\[
				R_w^{2} - R_d^{2} = 0.
			\]
			Przyjmując, że rezystancje są dodatnie, dostajemy
			\[
				R_d = R_w.
			\]
			Maksymalna moc jest więc pobierana wtedy, gdy rezystancja obciążenia jest równa
			rezystancji wewnętrznej źródła.
		\end{column}
		\begin{column}{0.4\textwidth}
			\begin{figure}
				\includegraphics[scale=0.08, alt={W obwodzie jest idealne źródło napięciowe o wartości u, połączone szeregowo z dwoma rezystorami: rezystorem wewnętrznym (prostokąt u góry) oraz rezystorem obciążenia Rd po prawej stronie.
							Napięcie na rezystorze wewnętrznym oznaczono jako u_RW ze strzałką w lewo, napięcie na rezystorze obciążenia jako u_RD ze strzałką w górę, a przez oba rezystory płynie ten sam prąd i zgodnie z kierunkiem zaznaczonej strzałki w pętli.}]{imags/L3/OptPower.png}
				\caption{Optymalny pobór mocy.}
			\end{figure}
		\end{column}
	\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Symulacja działania optymalnego odbiornika}
	\begin{block}{Symulacja działania optymalnego odbiornika}
		\url{https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html}
	\end{block}
\end{frame}